Kalkulus Contoh

$y = x + \frac{1}{x}$

Step 1

Tulis $y = x + \frac{1}{x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

Step 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \frac{1}{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$1 - x^{- 2}$

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Step 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = - 1$ dan $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Kalikan $\frac{1}{x^{2}}$ dengan $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Tambahkan $2 x^{- 3}$ dan $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 0$

Tambahkan $\frac{2}{x^{3}}$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Step 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Step 5

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \frac{1}{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 - x^{- 2}$

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Step 6

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x^{2}, 1$

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x^{2}$

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ dengan $x^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ dengan $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = - x^{2}$

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- x^{2} = - 1$ .

$- x^{2} = - 1$

Bagi setiap suku pada $- x^{2} = - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Bagilah setiap suku di $- x^{2} = - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{1}$

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Step 7

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Atur penyebut dalam $\frac{1}{x^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} = 0$

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Step 8

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 1, - 1$

Step 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = 1$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{2}{{(1)}^{3}}$

Step 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{2}{1}$

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2$

Step 11

$x = 1$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 1$ adalah minimum lokal

Step 12

Tentukan nilai y ketika $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = (1) + \frac{1}{1}$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$f (1) = 1 + 1$

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (1) = 2$

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$y = 2$

Step 13

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 1$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Step 14

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{2}{- 1}$

Bagilah $2$ dengan $- 1$ .

$- 2$

Step 15

$x = - 1$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - 1$ adalah maksimum lokal

Step 16

Tentukan nilai y ketika $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = (- 1) + \frac{1}{- 1}$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Bagilah $1$ dengan $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 - 1$

Kurangi $1$ dengan $- 1$ .

$f (- 1) = - 2$

Jawaban akhirnya adalah $- 2$ .

$y = - 2$

Step 17

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x + \frac{1}{x}$ .

$(1, 2)$ adalah minimum lokal

$(- 1, - 2)$ adalah maksimum lokal

Step 18