Kalkulus Contoh

$\sum_{n = 1}^{\infty} 5 {(\frac{3}{4})}^{n - 1}$

Step 1

Jumlah deret geometri tak hingga dapat ditentukan menggunakan rumus $\frac{a}{1 - r}$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Step 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Substitusikan $a_{n}$ dan $a_{n + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{5 {(\frac{3}{4})}^{n + 1 - 1}}{5 {(\frac{3}{4})}^{n - 1}}$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{5 {(\frac{3}{4})}^{n + 1 - 1}}{5 {(\frac{3}{4})}^{n - 1}}$

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{3}{4})}^{n - 1}}$

Hapus faktor persekutuan dari ${(\frac{3}{4})}^{n + 1 - 1}$ dan ${(\frac{3}{4})}^{n - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan ${(\frac{3}{4})}^{n - 1}$ dari ${(\frac{3}{4})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{n - 1} {(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{3}{4})}^{n - 1}}$

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{n - 1} {(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{3}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{n - 1} {(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{3}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Bagilah ${(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$ dengan $1$ .

$r = {(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Tambahkan $n$ dan $0$ .

$r = {(\frac{3}{4})}^{n - (n - 1)}$

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan sifat distributif.

$r = {(\frac{3}{4})}^{n - n - - 1}$

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$r = {(\frac{3}{4})}^{n - n + 1}$

Kurangi $n$ dengan $n$ .

$r = {(\frac{3}{4})}^{0 + 1}$

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$r = {(\frac{3}{4})}^{1}$

Sederhanakan.

$r = \frac{3}{4}$

Step 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Step 4

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Substitusikan $1$ untuk $n$ ke dalam $5 {(\frac{3}{4})}^{n - 1}$ .

$a = 5 {(\frac{3}{4})}^{1 - 1}$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$a = 5 {(\frac{3}{4})}^{0}$

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{4}$ .

$a = 5 \frac{3^{0}}{4^{0}}$

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = 5 \frac{1}{4^{0}}$

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan.

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Tulis kembali pernyataannya.

$a = 5 \cdot 1$

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$a = 5$

Step 5

Substitusikan nilai rasio dan suku pertama ke dalam rumus penjumlahan.

$\frac{5}{1 - \frac{3}{4}}$

Step 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{5}{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}$

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{5}{\frac{4 - 3}{4}}$

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$\frac{5}{\frac{1}{4}}$

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$5 \cdot 4$

Kalikan $5$ dengan $4$ .

$20$