Kalkulus Contoh

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 52$

Step 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x^{3} + 9 x^{2} - 52$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} (- 52)$

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $- 52$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 52$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + 0$

Tambahkan $- 3 x^{2} + 18 x$ dan $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x$

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 x^{2} + 18 x$ .

$- 3 x^{2} + 18 x$

Step 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 3 x^{2} + 18 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 3 x^{2} + 18 x = 0$

Faktorkan $- 3 x$ dari $- 3 x^{2} + 18 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $- 3 x$ dari $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x \cdot x + 18 x = 0$

Faktorkan $- 3 x$ dari $18 x$ .

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 6 = 0$

Faktorkan $- 3 x$ dari $- 3 x (x) - 3 x (- 6)$ .

$- 3 x (x - 6) = 0$

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Atur $x - 6$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Atur $x - 6$ sama dengan $0$ .

$x - 6 = 0$

Tambahkan $6$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 6$

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 3 x (x - 6) = 0$ benar.

$x = 0, 6$

Step 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, 6$ .

$0, 6$

Step 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Step 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = - 3 {(- 1)}^{2} + 18 (- 1)$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = - 3 \cdot 1 + 18 (- 1)$

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$f' (- 1) = - 3 + 18 (- 1)$

Kalikan $18$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = - 3 - 18$

Kurangi $18$ dengan $- 3$ .

$f' (- 1) = - 21$

Jawaban akhirnya adalah $- 21$ .

$- 21$

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $- 21$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 0)$ .

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Step 6

Substitusikan nilai dari interval $(0, 6)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = - 3 {(3)}^{2} + 18 (3)$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (3) = - 3 \cdot 9 + 18 (3)$

Kalikan $- 3$ dengan $9$ .

$f' (3) = - 27 + 18 (3)$

Kalikan $18$ dengan $3$ .

$f' (3) = - 27 + 54$

Tambahkan $- 27$ dan $54$ .

$f' (3) = 27$

Jawaban akhirnya adalah $27$ .

$27$

Pada $x = 3$ , turunannya adalah $27$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, 6)$ .

Meningkat pada $(0, 6)$ karena $f' (x) > 0$

Step 7

Substitusikan nilai dari interval $(6, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $7$ pada pernyataan tersebut.

$f' (7) = - 3 {(7)}^{2} + 18 (7)$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (7) = - 3 \cdot 49 + 18 (7)$

Kalikan $- 3$ dengan $49$ .

$f' (7) = - 147 + 18 (7)$

Kalikan $18$ dengan $7$ .

$f' (7) = - 147 + 126$

Tambahkan $- 147$ dan $126$ .

$f' (7) = - 21$

Jawaban akhirnya adalah $- 21$ .

$- 21$

Pada $x = 7$ , turunannya adalah $- 21$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(6, \infty)$ .

Menurun pada $(6, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Step 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(0, 6)$

Menurun pada: $(- \infty, 0), (6, \infty)$

Step 9