Kalkulus Contoh

$e^{6 x} + e^{- x}$

Step 1

Tulis $e^{6 x} + e^{- x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = e^{6 x} + e^{- x}$

Step 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{6 x} + e^{- x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{6 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $6 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $6 x$ .

$f' (x) = e^{6 x} \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = e^{6 x} (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$f' (x) = e^{6 x} \cdot 6 + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $e^{6 x}$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $- x$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- x$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} - e^{- x}$

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $6 e^{6 x} - e^{- x}$ .

$6 e^{6 x} - e^{- x}$

Step 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $6 e^{6 x} - e^{- x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$6 e^{6 x} - e^{- x} = 0$

Pindahkan $- e^{- x}$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkannya ke kedua sisinya.

$6 e^{6 x} = e^{- x}$

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (6 e^{6 x}) = \ln (e^{- x})$

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis kembali $\ln (6 e^{6 x})$ sebagai $\ln (6) + \ln (e^{6 x})$ .

$\ln (6) + \ln (e^{6 x}) = \ln (e^{- x})$

Perluas $\ln (e^{6 x})$ dengan memindahkan $6 x$ ke luar logaritma.

$\ln (6) + 6 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\ln (6) + 6 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$\ln (6) + 6 x = \ln (e^{- x})$

Perluas sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Perluas $\ln (e^{- x})$ dengan memindahkan $- x$ ke luar logaritma.

$\ln (6) + 6 x = - x \ln (e)$

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\ln (6) + 6 x = - x \cdot 1$

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (6) + 6 x = - x$

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tambahkan $x$ ke kedua sisi persamaan.

$\ln (6) + 6 x + x = 0$

Tambahkan $6 x$ dan $x$ .

$\ln (6) + 7 x = 0$

Kurangkan $\ln (6)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$7 x = - \ln (6)$

Bagi setiap suku pada $7 x = - \ln (6)$ dengan $7$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Bagilah setiap suku di $7 x = - \ln (6)$ dengan $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- \ln (6)}{7}$

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- \ln (6)}{7}$

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- \ln (6)}{7}$

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{\ln (6)}{7}$

Step 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $- \frac{\ln (6)}{7}$ .

$- \frac{\ln (6)}{7}$

Step 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = 6 e^{6 x} - e^{- x}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = e^{6 x} + e^{- x}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, - \frac{\ln (6)}{7}) \cup (- \frac{\ln (6)}{7}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{\ln (6)}{7}) \cup (- \frac{\ln (6)}{7}, \infty)$

Step 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - \frac{\ln (6)}{7})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.25596563$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1.25596563) = 6 e^{6 (- 1.25596563)} - e^{- (- 1.25596563)}$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $6$ dengan $- 1.25596563$ .

$f' (- 1.25596563) = 6 e^{- 7.53579383} - e^{- (- 1.25596563)}$

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.25596563) = 6 (\frac{1}{e^{7.53579383}}) - e^{- (- 1.25596563)}$

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{e^{7.53579383}}$ .

$f' (- 1.25596563) = \frac{6}{e^{7.53579383}} - e^{- (- 1.25596563)}$

Kalikan $- 1$ dengan $- 1.25596563$ .

$f' (- 1.25596563) = \frac{6}{e^{7.53579383}} - e^{1.25596563}$

Jawaban akhirnya adalah $\frac{6}{e^{7.53579383}} - e^{1.25596563}$ .

$\frac{6}{e^{7.53579383}} - e^{1.25596563}$

Sederhanakan.

$- 3.50802548$

Pada $x = - 1.25596563$ , turunannya adalah $- 3.50802548$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - \frac{\ln (6)}{7})$ .

Menurun pada $(- \infty, - \frac{\ln (6)}{7})$ karena $f' (x) < 0$

Step 7

Substitusikan nilai dari interval $(- \frac{\ln (6)}{7}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $0.74403436$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0.74403436) = 6 e^{6 (0.74403436)} - e^{- (0.74403436)}$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $6$ dengan $0.74403436$ .

$f' (0.74403436) = 6 e^{4.46420616} - e^{- (0.74403436)}$

Kalikan $- 1$ dengan $0.74403436$ .

$f' (0.74403436) = 6 e^{4.46420616} - e^{- 0.74403436}$

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.74403436) = 6 e^{4.46420616} - \frac{1}{e^{0.74403436}}$

Jawaban akhirnya adalah $6 e^{4.46420616} - \frac{1}{e^{0.74403436}}$ .

$6 e^{4.46420616} - \frac{1}{e^{0.74403436}}$

Sederhanakan.

$520.63714505$

Pada $x = 0.74403436$ , turunannya adalah $520.63714505$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \frac{\ln (6)}{7}, \infty)$ .

Meningkat pada $(- \frac{\ln (6)}{7}, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Step 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \frac{\ln (6)}{7}, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, - \frac{\ln (6)}{7})$

Step 9