Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{3 x - 7}$

Step 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3 x - 7}$ sebagai ${(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}})$

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 3 x - 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x - 7$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x - 7$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Pindahkan ${(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - 7$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Karena $- 7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 + 0)$

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3$

Gabungkan $\frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Step 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $\frac{3}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}})$

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis kembali $\frac{1}{{(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ sebagai ${({(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({({(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Kalikan eksponen dalam ${({(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(3 x - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(3 x - 7)}^{\frac{- 1}{2}})$

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}})$

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 3 x - 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x - 7$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x - 7$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Gabungkan ${(3 x - 7)}^{- \frac{3}{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{{(3 x - 7)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Pindahkan ${(3 x - 7)}^{- \frac{3}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $\frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2 (2 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - 7$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (3 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Karena $- 7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (3 + 0)$

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 3$

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 \cdot 3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $- 3$ dengan $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 9}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{9}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Step 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{9}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{9}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$