Kalkulus Contoh

$x = 1$ , $x = 3$ , $y = x^{3} - 8$ , $y = 0$

Step 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$x^{3} - 8 = 0$

Selesaikan $x^{3} - 8 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tambahkan $8$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{3} = 8$

Kurangkan $8$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{3} - 8 = 0$

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 0$

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Atur $x^{2} + 2 x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Atur $x^{2} + 2 x + 4$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Selesaikan $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 2$ , dan $c = 4$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Kurangi $16$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $- 12$ sebagai $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (12)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Sederhanakan $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Kurangi $16$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $- 12$ sebagai $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (12)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Sederhanakan $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Kurangi $16$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $- 12$ sebagai $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (12)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Sederhanakan $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ benar.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Substitusikan $2$ untuk $x$ .

$y = 0$

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Step 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Step 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $1$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Integralkan untuk menghitung luas antara $1$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{1}^{3} 0 - (x^{3} - 8) d x$

Kurangi $x^{3} - 8$ dengan $0$ .

$\int_{1}^{3} - (x^{3} - 8) d x$

Terapkan sifat distributif.

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 8 d x$

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

Terapkan aturan konstanta.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 8 x]_{1}^{3}$

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Evaluasi $\frac{x^{4}}{4}$ pada $3$ dan pada $1$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 8 x]_{1}^{3}$

Evaluasi $8 x$ pada $3$ dan pada $1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{81 - 1}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Kurangi $1$ dengan $81$ .

$- \frac{80}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Hapus faktor persekutuan dari $80$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $4$ dari $80$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{20}{1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Bagilah $20$ dengan $1$ .

$- 1 \cdot 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Kalikan $- 1$ dengan $20$ .

$- 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Kalikan $8$ dengan $3$ .

$- 20 + 24 - 8 \cdot 1$

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$- 20 + 24 - 8$

Kurangi $8$ dengan $24$ .

$- 20 + 16$

Tambahkan $- 20$ dan $16$ .

$- 4$

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 - (0) d x$

Kurangi $0$ dengan $x^{3} - 8$ .

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x$

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 8 d x$

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 8 d x$

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + - 8 x]_{1}^{3}$

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Gabungkan $\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}$ dan $- 8 x]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} - 8 x]_{1}^{3}$

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Evaluasi $\frac{1}{4} x^{4} - 8 x$ pada $3$ dan pada $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - 8 \cdot 3) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 81 - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $81$ .

$\frac{81}{4} - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Kalikan $- 8$ dengan $3$ .

$\frac{81}{4} - 24 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Untuk menuliskan $- 24$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} - 24 \cdot \frac{4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Gabungkan $- 24$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} + \frac{- 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{81 - 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $- 24$ dengan $4$ .

$\frac{81 - 96}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Kurangi $96$ dengan $81$ .

$\frac{- 15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - 8 \cdot 1)$

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot 1)$

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8)$

Untuk menuliskan $- 8$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4})$

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4})$

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 8 \cdot 4}{4}$

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $- 8$ dengan $4$ .

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 32}{4}$

Kurangi $32$ dengan $1$ .

$- \frac{15}{4} - \frac{- 31}{4}$

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{15}{4} - - \frac{31}{4}$

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{15}{4} + 1 (\frac{31}{4})$

Kalikan $\frac{31}{4}$ dengan $1$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{31}{4}$

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 15 + 31}{4}$

Tambahkan $- 15$ dan $31$ .

$\frac{16}{4}$

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4}$

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{1}$

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$4$

Step 4