Kalkulus Contoh

$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 8 x$

Step 1

Tulis $\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 8 x$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 8 x$

Step 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 8 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{3}}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Gabungkan $\frac{3}{3}$ dan $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} - \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8 x$ terhadap $x$ adalah $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} x$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1$

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x - 8$

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 2 x - 8$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 2 + 0$

Tambahkan $2 x - 2$ dan $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 2$

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 x - 2$ .

$2 x - 2$

Step 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2 x - 2 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 2$

Bagi setiap suku pada $2 x = 2$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Bagilah setiap suku di $2 x = 2$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$x = 1$

Step 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Substitusikan $1$ dalam $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 8 x$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = \frac{{(1)}^{3}}{3} - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = \frac{1}{3} - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1$

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = \frac{1}{3} - 1 \cdot 1 - 8 \cdot 1$

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} - 1 - 8 \cdot 1$

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} - 1 - 8$

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1}{1} - 8$

Kalikan $\frac{- 1}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3} - 8$

Kalikan $\frac{- 1}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} - 8$

Tulis $- 8$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1}$

Kalikan $\frac{- 8}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Kalikan $\frac{- 8}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (1) = \frac{1 - 1 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{3}$

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f (1) = \frac{1 - 3 - 8 \cdot 3}{3}$

Kalikan $- 8$ dengan $3$ .

$f (1) = \frac{1 - 3 - 24}{3}$

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$f (1) = \frac{- 2 - 24}{3}$

Kurangi $24$ dengan $- 2$ .

$f (1) = \frac{- 26}{3}$

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (1) = - \frac{26}{3}$

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{26}{3}$ .

$- \frac{26}{3}$

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $1$ dalam $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 8 x$ adalah $(1, - \frac{26}{3})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(1, - \frac{26}{3})$

Step 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Step 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 1)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $0.9$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.9) = 2 (0.9) - 2$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $2$ dengan $0.9$ .

$f'' (0.9) = 1.8 - 2$

Kurangi $2$ dengan $1.8$ .

$f'' (0.9) = - 0.2$

Jawaban akhirnya adalah $- 0.2$ .

$- 0.2$

Pada $0.9$ , turunan kedua adalah $- 0.2$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, 1)$

Menurun pada $(- \infty, 1)$ karena $f'' (x) < 0$

Step 7

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $1.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.1) = 2 (1.1) - 2$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $2$ dengan $1.1$ .

$f'' (1.1) = 2.2 - 2$

Kurangi $2$ dengan $2.2$ .

$f'' (1.1) = 0.2$

Jawaban akhirnya adalah $0.2$ .

$0.2$

Pada $1.1$ , turunan keduanya adalah $0.2$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(1, \infty)$ .

Meningkat pada $(1, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Step 8

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(1, - \frac{26}{3})$ .

$(1, - \frac{26}{3})$

Step 9