Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 4 x)}{x}$

Step 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{\ln (1 + 4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\ln (1 + 4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}$

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0}$

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Step 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 4 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Step 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 1 + 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 + 4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + 4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + 4 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} (0 + \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{1 + 4 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Kalikan $\frac{4}{1 + 4 x}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{4 x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{4 x + 1}}{1}$

Step 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 0} \frac{4}{4 x + 1} \cdot 1$

Step 5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $\frac{4}{4 x + 1}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4}{4 x + 1}$

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 x + 1}$

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$4 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4 x + 1}$

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$4 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x + 1}$

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$4 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1}$

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$4 \frac{1}{4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$4 \frac{1}{4 lim_{x \to 0} x + 1}$

Step 6

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$4 \frac{1}{4 \cdot 0 + 1}$

Step 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$4 \frac{1}{0 + 1}$

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$4 (\frac{1}{1})$

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan.

$4 (\frac{1}{1})$

Tulis kembali pernyataannya.

$4 \cdot 1$

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4$