Kalkulus Contoh

$y = \tan^{-1} (x^{2})$

Step 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \tan^{-1} (x)$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\tan^{-1} (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Turunan dari $\tan^{-1} (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot (2 x)$

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{1 + x^{4}} \cdot x$

Gabungkan $\frac{2}{1 + x^{4}}$ dan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Step 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{4} + 1})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Kalikan $x^{4} + 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tambahkan $4 x^{3}$ dan $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pindahkan $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Kurangi $4 x^{4}$ dengan $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Gabungkan $2$ dan $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Faktorkan $2$ dari $- 6 x^{4} + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $2$ dari $- 6 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Faktorkan $2$ dari $2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Tulis kembali $- (3 x^{4} - 1)$ sebagai $- 1 (3 x^{4} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$