Kalkulus Contoh

$f (x) = \arctan (x)$

Step 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Turunan dari $\arctan (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Step 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2} + 1}$ sebagai ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- 1})$

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f'' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Step 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$