Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

Step 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1 - \cos (x)$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} (1 - \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - \cos (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{\sin (x) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{\sin (x) (0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} (- \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{\sin (x) (- \frac{d}{d x} \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \frac{\sin (x) (\sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = \frac{\sin (x) (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = \frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = \frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) + (- 1 \cdot 1 + \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 1 \cdot (1 \cos (x)) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 1 \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Tulis kembali $- 1 \cos (x)$ sebagai $- \cos (x)$ .

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Kalikan $- - \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Kalikan $\cos (x) \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Pindahkan $\cos^{2} (x)$ .

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Terapkan identitas pythagoras.

$f' (x) = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (1 - \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{{(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan eksponen dalam ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (1 - \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (1 - \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - \cos (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (- \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (- \frac{d}{d x} \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (\sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Kalikan $\sin^{2} (x)$ dengan $\sin (x)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $\sin^{2} (x)$ dengan $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{{\sin (x)}^{2 + 1} - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - (1 - \cos (x)) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))}{\sin^{4} (x)}$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - (1 - \cos (x)) (2 u \frac{d}{d x} (\sin (x)))}{\sin^{4} (x)}$

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - (1 - \cos (x)) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))}{\sin^{4} (x)}$

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - 2 (1 - \cos (x)) (\sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))}{\sin^{4} (x)}$

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\sin^{3} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\sin^{3} (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\sin (x) \sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{4} (x)}$

Faktorkan $\sin (x)$ dari $- 2 (1 - \cos (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{\sin (x) \sin^{2} (x) + \sin (x) (- 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x))}{\sin^{4} (x)}$

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\sin (x) \sin^{2} (x) + \sin (x) (- 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$ .

$f'' (x) = \frac{\sin (x) (\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x))}{\sin^{4} (x)}$

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\sin^{4} (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\sin (x) (\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{\sin (x) (\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{3} (x)}$

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) + (- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos (x))) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cdot (1 \cos (x)) - 2 (- \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 (- \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Kalikan $2 \cos (x) \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 (\cos (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 (\cos (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{3} (x)}$

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

Step 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$