Kalkulus Contoh

$f (x) = \sin^{3} (x)$

Step 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\sin (x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 3 u^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Step 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \sin^{2} (x) \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x) \cos (x))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \sin^{2} (x)$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Kalikan $\sin^{2} (x)$ dengan $\sin (x)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pindahkan $\sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Kalikan $\sin (x)$ dengan $\sin^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 3 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 3 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f'' (x) = 3 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $\sin^{3} (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Tulis kembali $- 1 \sin^{3} (x)$ sebagai $- \sin^{3} (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x))))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} (\sin (x))))$

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))))$

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cdot (\cos (x) \sin (x)) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x))$

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos (x) \cos (x)) \sin (x))$

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos (x) \cos (x)) \sin (x))$

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x))$

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x)) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f'' (x) = - 3 \sin^{3} (x) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f'' (x) = - 3 \sin^{3} (x) + 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$

Step 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$ .

$6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$