Kalkulus Contoh

$f (x) = x \ln (x)$

Step 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Tulis kembali pernyataannya.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$1 + \ln (x)$

Step 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \ln (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{x}$

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

Step 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$1 + \ln (x) = 0$

Step 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)$

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)$

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = \frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)$

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = 1 + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x) \cdot 1$

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Step 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $1 + \ln (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\ln (x) = - 1$

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Tulis kembali $\ln (x) = - 1$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Step 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Atur argumen dalam $\ln (x)$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x \leq 0$

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Step 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = \frac{1}{e}$

Step 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{1}{e}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{1}{\frac{1}{e}}$

Step 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$1 e$

Kalikan $e$ dengan $1$ .

$e$

Step 10

$x = \frac{1}{e}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{1}{e}$ adalah minimum lokal

Step 11

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{1}{e}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{e}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis kembali $\frac{1}{e}$ sebagai $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Tulis kembali $\ln (1 e^{- 1})$ sebagai $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $- 1$ keluar dari eksponen.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 1)$

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 1$

Gabungkan $\frac{1}{e}$ dan $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 1}{e}$

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{e}$ .

$y = - \frac{1}{e}$

Step 12

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})$ adalah minimum lokal

Step 13