Kalkulus Contoh

$\sin^{2} (2 t)$

Step 1

Biarkan $u_{1} = 2 t$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Biarkan $u_{1} = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 2

Gabungkan $\sin^{2} (u_{1})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 4

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\sin^{2} (u_{1})$ sebagai $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Step 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{4} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 8

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 10

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Karena $2$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $2 u_{1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Step 11

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Step 12

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Step 13

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Step 14

Sederhanakan.

$\frac{1}{4} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Step 15

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 t$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 t$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (2 (2 t))) + C$

Step 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (4 t)) + C$

Gabungkan $\sin (4 t)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{4} (2 t) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 t) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Faktorkan $2$ dari $2 t$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (t)) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 t) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} t + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t$ .

$\frac{t}{2} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Kalikan $\frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{\sin (4 t)}{2}$ .

$\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{4 \cdot 2} + C$

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C$

Step 17

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) + C$