Kalkulus Contoh

$2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Step 1

Tulis $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ sebagai fungsi.

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Step 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$f' (θ) = \frac{d}{d θ} (2 \cos (θ)) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

Evaluasi $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $2$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $2 \cos (θ)$ terhadap $θ$ adalah $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$f' (θ) = 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ)) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

Turunan dari $\cos (θ)$ terhadap $θ$ adalah $- \sin (θ)$ .

$f' (θ) = 2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

Evaluasi $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ adalah $f' (g (θ)) g' (θ)$ di mana $f (θ) = θ^{2}$ dan $g (θ) = \cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (θ)$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (θ)$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

Turunan dari $\cos (θ)$ terhadap $θ$ adalah $- \sin (θ)$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Susun kembali suku-suku.

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = \frac{d}{d θ} (- 2 \cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Evaluasi $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $- 2$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ terhadap $θ$ adalah $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = - 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ adalah $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ di mana $f (θ) = \cos (θ)$ dan $g (θ) = \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} (\sin (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Turunan dari $\sin (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\cos (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Turunan dari $\cos (θ)$ terhadap $θ$ adalah $- \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Naikkan $\cos (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Naikkan $\cos (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (θ) = - 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Naikkan $\sin (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Naikkan $\sin (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Evaluasi $\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $- 2$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $- 2 \sin (θ)$ terhadap $θ$ adalah $- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \frac{d}{d θ} \sin (θ)$

Turunan dari $\sin (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\cos (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan sifat distributif.

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

Turunan kedua dari $f (θ)$ terhadap $θ$ adalah $- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

Step 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ) = 0$

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$θ = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Step 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Substitusikan $\frac{π}{3}$ dalam $f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $θ$ dengan $\frac{π}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π}{3}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{2^{2}}$

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{4}$

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4 + 1}{4}$

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

Jawaban akhirnya adalah $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{π}{3}$ dalam $f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ adalah $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Step 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{3}, \infty)$

Step 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{π}{3})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $θ$ dengan $0.94719755$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.94719755) = - 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Jawaban akhirnya adalah $- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Pada $0.94719755$ , turunan kedua adalah $- 0.53195951$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, \frac{π}{3})$

Menurun pada $(- \infty, \frac{π}{3})$ karena $f'' (θ) < 0$

Step 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{π}{3}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $θ$ dengan $1.14719755$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.14719755) = - 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Jawaban akhirnya adalah $- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Pada $1.14719755$ , turunan keduanya adalah $0.50208433$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{π}{3}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{π}{3}, \infty)$ karena $f'' (θ) > 0$

Step 8

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Step 9