Kalkulus Contoh

$f (x) = \sin^{2} (2 x)$

Step 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sin (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\sin (2 x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (2 x))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sin (2 x))$

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\sin (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\sin (2 x))$

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x$ .

$f' (x) = 2 \sin (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sin (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Turunan dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\cos (u_{2})$ .

$f' (x) = 2 \sin (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$f' (x) = 2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \sin (2 x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f' (x) = 4 \sin (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} (x)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 4 \sin (2 x) \cos (2 x) \cdot 1$

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f' (x) = 4 \sin (2 x) \cos (2 x)$

Susun kembali faktor-faktor dari $4 \sin (2 x) \cos (2 x)$ .

$f' (x) = 4 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Step 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 \cos (2 x) \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\cos (2 x) \sin (2 x))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \cos (2 x)$ dan $g (x) = \sin (2 x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Naikkan $\cos (2 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Naikkan $\cos (2 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 4 ({\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (2 x) (2 \cdot 1) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos^{2} (2 x)$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cdot \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Turunan dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Naikkan $\sin (2 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - \sin (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Naikkan $\sin (2 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - \sin (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} (2 x))$

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} x)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1)$

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x))$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x)) + 4 (- 2 \sin^{2} (2 x))$

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$f'' (x) = 8 \cos^{2} (2 x) + 4 (- 2 \sin^{2} (2 x))$

Kalikan $- 2$ dengan $4$ .

$f'' (x) = 8 \cos^{2} (2 x) - 8 \sin^{2} (2 x)$

Step 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $8 \cos^{2} (2 x) - 8 \sin^{2} (2 x)$ .

$8 \cos^{2} (2 x) - 8 \sin^{2} (2 x)$