Kalkulus Contoh

$\cos^{3} (2 x)$

Step 1

Tulis $\cos^{3} (2 x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = \cos^{3} (2 x)$

Step 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \cos^{3} (2 x) d x$

Step 4

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 5

Gabungkan $\cos^{3} (u_{1})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Step 7

Faktorkan $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Step 8

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\cos^{2} (u_{1})$ sebagai $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Step 9

Biarkan $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Kemudian $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Biarkan $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Step 10

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 11

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 12

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

Step 14

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Step 15

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (2 x)) + C$

Step 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Gabungkan $\sin^{3} (2 x)$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) - \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} \sin (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Kalikan $\frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\sin^{3} (2 x)}{3}$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{\sin^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{\sin^{3} (2 x)}{6} + C$

Step 17

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} \sin (2 x) - \frac{1}{6} \sin^{3} (2 x) + C$

Step 18

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \cos^{3} (2 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \sin (2 x) - \frac{1}{6} \sin^{3} (2 x) + C$