Kalkulus Contoh

$x^{2} \ln (x)$

Step 1

Tulis $x^{2} \ln (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Step 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x \ln (x) + x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \ln (x) + 3$ .

$2 \ln (x) + 3$

Step 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2 \ln (x) + 3 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$2 \ln (x) + 3 = 0$

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \ln (x) = - 3$

Bagi setiap suku pada $2 \ln (x) = - 3$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Bagilah setiap suku di $2 \ln (x) = - 3$ dengan $2$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Bagilah $\ln (x)$ dengan $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

Tulis kembali $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x = e^{- \frac{3}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Step 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Substitusikan $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ dalam $f (x) = x^{2} \ln (x)$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Kalikan eksponen dalam ${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Pindahkan $e^{\frac{3}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

Perluas $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ dengan memindahkan $- \frac{3}{2}$ ke luar logaritma.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

Kalikan $\frac{1}{e^{3}}$ dengan $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{3}{e^{3} \cdot 2}$

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{3}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{3}{2 e^{3}}$

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{3}{2 e^{3}}$ .

$- \frac{3}{2 e^{3}}$

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ dalam $f (x) = x^{2} \ln (x)$ adalah $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$

Step 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Step 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $0.12313016$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.12313016) = 2 \ln (0.12313016) + 3$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan $2 \ln (0.12313016)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$f'' (0.12313016) = \ln ({0.12313016}^{2}) + 3$

Naikkan $0.12313016$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.12313016) = \ln (0.01516103) + 3$

Jawaban akhirnya adalah $\ln (0.01516103) + 3$ .

$\ln (0.01516103) + 3$

Pada $0.12313016$ , turunan kedua adalah $- 1.18902654$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Menurun pada $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ karena $f'' (x) < 0$

Step 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $0.32313016$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.32313016) = 2 \ln (0.32313016) + 3$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan $2 \ln (0.32313016)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$f'' (0.32313016) = \ln ({0.32313016}^{2}) + 3$

Naikkan $0.32313016$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.32313016) = \ln (0.1044131) + 3$

Jawaban akhirnya adalah $\ln (0.1044131) + 3$ .

$\ln (0.1044131) + 3$

Pada $0.32313016$ , turunan keduanya adalah $0.74059987$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Step 8

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$

Step 9