Kalkulus Contoh

$f (x) = \sin (3 x^{5})$

Step 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 3 x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x^{5}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (3 x^{5})$

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (3 x^{5})$

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x^{5}$ .

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (3 x^{5})$

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{5}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) (3 \frac{d}{d x} (x^{5}))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) (3 (5 x^{4}))$

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) (15 x^{4})$

Susun kembali faktor-faktor dari $\cos (3 x^{5}) (15 x^{4})$ .

$f' (x) = 15 x^{4} \cos (3 x^{5})$

Step 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $15$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $15 x^{4} \cos (3 x^{5})$ terhadap $x$ adalah $15 \frac{d}{d x} [x^{4} \cos (3 x^{5})]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4} \cos (3 x^{5}))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = \cos (3 x^{5})$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} \frac{d}{d x} (\cos (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 3 x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x^{5}$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- \sin (u) \frac{d}{d x} (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x^{5}$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- \sin (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{5}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- \sin (3 x^{5}) (3 \frac{d}{d x} (x^{5}))) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- 3 \sin (3 x^{5}) \frac{d}{d x} x^{5}) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- 3 \sin (3 x^{5}) (5 x^{4})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Kalikan $5$ dengan $- 3$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- 15 \sin (3 x^{5}) x^{4}) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Kalikan $x^{4}$ dengan $x^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pindahkan $x^{4}$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} x^{4} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 15 (x^{4 + 4} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$f'' (x) = 15 (x^{8} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (x^{8} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) (4 x^{3}))$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 15 (x^{8} (- 15 \sin (3 x^{5}))) + 15 (\cos (3 x^{5}) (4 x^{3}))$

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $- 15$ dengan $15$ .

$f'' (x) = - 225 (x^{8} (\sin (3 x^{5}))) + 15 (\cos (3 x^{5}) (4 x^{3}))$

Kalikan $4$ dengan $15$ .

$f'' (x) = - 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 \cos (3 x^{5}) x^{3}$

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = - 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 x^{3} \cos (3 x^{5})$

Step 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 x^{3} \cos (3 x^{5})$ .

$- 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 x^{3} \cos (3 x^{5})$