Kalkulus Contoh

$y = e^{4 x} \sin (x)$

Step 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = e^{4 x}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = e^{4 x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x})$

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x})$

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $4 x$ .

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (4 x))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} (4 x))$

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 x$ .

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x))$

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x)))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} \cdot 4)$

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $e^{4 x}$ .

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (4 \cdot e^{4 x})$

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + 4 e^{4 x} \sin (x)$

Step 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{4 x} \cos (x) + 4 e^{4 x} \sin (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [e^{4 x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{4 x} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{4 x} \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

$f'' (x) = e^{4 x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $4 x$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $4 x$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $e^{4 x}$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 e^{4 x} \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 \frac{d}{d x} (e^{4 x} \sin (x))$

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x}))$

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x}))$

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $4 x$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (4 x)))$

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $4 x$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)))$

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} (4 \cdot 1)))$

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} \cdot 4))$

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $e^{4 x}$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (4 e^{4 x}))$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x)) + 4 (\sin (x) (4 e^{4 x}))$

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 e^{4 x} \cos (x) + 16 (\sin (x) (e^{4 x}))$

Tambahkan $\cos (x) (4 e^{4 x})$ dan $4 e^{4 x} \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pindahkan $\cos (x)$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + 4 e^{4 x} \cos (x) + 4 e^{4 x} \cos (x) + 16 \sin (x) e^{4 x}$

Tambahkan $4 e^{4 x} \cos (x)$ dan $4 e^{4 x} \cos (x)$ .

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + 8 e^{4 x} \cos (x) + 16 \sin (x) e^{4 x}$

Pindahkan $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 1 \cdot (e^{4 x} \sin (x)) + 16 e^{4 x} \sin (x) + 8 e^{4 x} \cos (x)$

Tulis kembali $- 1 e^{4 x}$ sebagai $- e^{4 x}$ .

$f'' (x) = - e^{4 x} \sin (x) + 16 e^{4 x} \sin (x) + 8 e^{4 x} \cos (x)$

Tambahkan $- e^{4 x} \sin (x)$ dan $16 e^{4 x} \sin (x)$ .

$f'' (x) = 15 e^{4 x} \sin (x) + 8 e^{4 x} \cos (x)$