Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} x \ln (x)$

Step 1

Ubah limit dua arah menjadi limit kanan.

$lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)$

Step 2

Tulis kembali $x \ln (x)$ sebagai $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$

Step 3

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Ketika $x$ mendekati $0$ dari kanan, $\ln (x)$ menurun tanpa batas.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Karena pembilangnya tetap dan penyebutnya mendekati $0$ ketika $x$ mendekati $0$ dari kanan, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati tak hingga.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{- \infty}{\infty}$

Karena $\frac{- \infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}$

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- x^{2})$

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}$

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}$

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}$

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - x$

Step 4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} x$

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$0$