Kalkulus Contoh

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

Step 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\cos (\frac{x}{2})$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Kalikan $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Step 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x = 0$

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 2 (π - 0)$

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = 2 π$

Tentukan periode dari $\sin (\frac{x}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Ganti $b$ dengan $\frac{1}{2}$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ mendekati $0.5$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$2 π \cdot 2$

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 π$

Periode dari fungsi $\sin (\frac{x}{2})$ adalah $4 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $4 π$ radian di kedua arah.

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Gabungkan jawabannya.

$x = 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Step 3

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi dalam $f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ adalah $(,)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(,)$

Step 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Step 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty,)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (\frac{- 0.1}{2})}{4}$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Bagilah $- 0.1$ dengan $2$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (- 0.05)}{4}$

Evaluasi $\sin (- 0.05)$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 0.04997916}{4}$

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Bagilah $- 0.04997916$ dengan $4$ .

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

Kalikan $- 1$ dengan $- 0.01249479$ .

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

Jawaban akhirnya adalah $0.01249479$ .

$0.01249479$

Pada $- 0.1$ , turunan keduanya adalah $0.01249479$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty,)$ .

Meningkat pada $(- \infty,)$ karena $f'' (x) > 0$

Step 6

Substitusikan nilai dari interval $(, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (\frac{0.1}{2})}{4}$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Bagilah $0.1$ dengan $2$ .

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (0.05)}{4}$

Evaluasi $\sin (0.05)$ .

$f'' (0.1) = - \frac{0.04997916}{4}$

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Bagilah $0.04997916$ dengan $4$ .

$f'' (0.1) = - 1 \cdot 0.01249479$

Kalikan $- 1$ dengan $0.01249479$ .

$f'' (0.1) = - 0.01249479$

Jawaban akhirnya adalah $- 0.01249479$ .

$- 0.01249479$

Pada $0.1$ , turunan kedua adalah $- 0.01249479$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(, \infty)$

Menurun pada $(, \infty)$ karena $f'' (x) < 0$

Step 7

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(,)$ .

$(,)$

Step 8