Kalkulus Contoh

$e^{x} \sin (x)$

Step 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

Step 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x))$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

$f'' (x) = e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x))$

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f'' (x) = e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x))$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

$f'' (x) = e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f'' (x) = e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tambahkan $\cos (x) e^{x}$ dan $e^{x} \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Susun kembali $\cos (x)$ dan $e^{x}$ .

$f'' (x) = e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Tambahkan $e^{x} \cos (x)$ dan $e^{x} \cos (x)$ .

$f'' (x) = e^{x} (- \sin (x)) + 2 e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Susun kembali $\sin (x)$ dan $e^{x}$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} \cos (x) - 1 \cdot (e^{x} \sin (x)) + e^{x} \sin (x)$

Tulis kembali $- 1 e^{x}$ sebagai $- e^{x}$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x)$

Tambahkan $- e^{x} \sin (x)$ dan $e^{x} \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} \cos (x) + 0$

Tambahkan $2 e^{x} \cos (x)$ dan $0$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} \cos (x)$

Step 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 e^{x} \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

$f''' (x) = 2 (e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan sifat distributif.

$f''' (x) = 2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f''' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Susun kembali suku-suku.

$f''' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Step 4

Cari turunan keempat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 e^{x} \cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- 2 e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 e^{x} \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = - 2 \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 e^{x} \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 e^{x} \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan sifat distributif.

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x)) - 2 (\sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Terapkan sifat distributif.

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x)) - 2 (\sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f^{4} (x) = - 2 e^{x} \cos (x) - 2 \sin (x) e^{x} - 2 (e^{x} (\sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Kurangi $2 e^{x} \sin (x)$ dengan $- 2 \sin (x) e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pindahkan $\sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - 2 e^{x} \cos (x) - 2 e^{x} \sin (x) - 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Kurangi $2 e^{x} \sin (x)$ dengan $- 2 e^{x} \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - 2 e^{x} \cos (x) - 4 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Tambahkan $- 2 e^{x} \cos (x)$ dan $2 \cos (x) e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pindahkan $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - 4 e^{x} \sin (x) - 2 e^{x} \cos (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Tambahkan $- 2 e^{x} \cos (x)$ dan $2 e^{x} \cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - 4 e^{x} \sin (x) + 0$

Tambahkan $- 4 e^{x} \sin (x)$ dan $0$ .

$f^{4} (x) = - 4 e^{x} \sin (x)$