Kalkulus Contoh

$f (x) = 150 + 8 x^{3} + x^{4}$

Step 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $150 + 8 x^{3} + x^{4}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [150] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (150) + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{4})$

Karena $150$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $150$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{4})$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 0 + 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{4})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 0 + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{4})$

Kalikan $3$ dengan $8$ .

$f' (x) = 0 + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{4})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 0 + 24 x^{2} + 4 x^{3}$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tambahkan $0$ dan $24 x^{2}$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + 4 x^{3}$

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2}$

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} + 24 x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $24 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 (2 x)$

Kalikan $2$ dengan $24$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x$

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 x^{2} + 48 x$ .

$12 x^{2} + 48 x$

Step 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $12 x^{2} + 48 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$12 x^{2} + 48 x = 0$

Faktorkan $12 x$ dari $12 x^{2} + 48 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $12 x$ dari $12 x^{2}$ .

$12 x (x) + 48 x = 0$

Faktorkan $12 x$ dari $48 x$ .

$12 x (x) + 12 x (4) = 0$

Faktorkan $12 x$ dari $12 x (x) + 12 x (4)$ .

$12 x (x + 4) = 0$

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Atur $x + 4$ sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $12 x (x + 4) = 0$ benar.

$x = 0, - 4$

Step 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Substitusikan $0$ dalam $f (x) = 150 + 8 x^{3} + x^{4}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 150 + 8 {(0)}^{3} + {(0)}^{4}$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 150 + 8 \cdot 0 + {(0)}^{4}$

Kalikan $8$ dengan $0$ .

$f (0) = 150 + 0 + {(0)}^{4}$

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 150 + 0 + 0$

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tambahkan $150$ dan $0$ .

$f (0) = 150 + 0$

Tambahkan $150$ dan $0$ .

$f (0) = 150$

Jawaban akhirnya adalah $150$ .

$150$

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $0$ dalam $f (x) = 150 + 8 x^{3} + x^{4}$ adalah $(0, 150)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(0, 150)$

Substitusikan $- 4$ dalam $f (x) = 150 + 8 x^{3} + x^{4}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 4) = 150 + 8 {(- 4)}^{3} + {(- 4)}^{4}$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- 4) = 150 + 8 \cdot - 64 + {(- 4)}^{4}$

Kalikan $8$ dengan $- 64$ .

$f (- 4) = 150 - 512 + {(- 4)}^{4}$

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- 4) = 150 - 512 + 256$

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kurangi $512$ dengan $150$ .

$f (- 4) = - 362 + 256$

Tambahkan $- 362$ dan $256$ .

$f (- 4) = - 106$

Jawaban akhirnya adalah $- 106$ .

$- 106$

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 4$ dalam $f (x) = 150 + 8 x^{3} + x^{4}$ adalah $(- 4, - 106)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 4, - 106)$

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(0, 150), (- 4, - 106)$

Step 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 4)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $- 4.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 4.1) = 12 {(- 4.1)}^{2} + 48 (- 4.1)$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $- 4.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 4.1) = 12 \cdot 16.81 + 48 (- 4.1)$

Kalikan $12$ dengan $16.81$ .

$f'' (- 4.1) = 201.72 + 48 (- 4.1)$

Kalikan $48$ dengan $- 4.1$ .

$f'' (- 4.1) = 201.72 - 196.8$

Kurangi $196.8$ dengan $201.72$ .

$f'' (- 4.1) = 4.92$

Jawaban akhirnya adalah $4.92$ .

$4.92$

Pada $- 4.1$ , turunan keduanya adalah $4.92$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, - 4)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 4)$ karena $f'' (x) > 0$

Step 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 4, 0)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} + 48 (- 2)$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 + 48 (- 2)$

Kalikan $12$ dengan $4$ .

$f'' (- 2) = 48 + 48 (- 2)$

Kalikan $48$ dengan $- 2$ .

$f'' (- 2) = 48 - 96$

Kurangi $96$ dengan $48$ .

$f'' (- 2) = - 48$

Jawaban akhirnya adalah $- 48$ .

$- 48$

Pada $- 2$ , turunan kedua adalah $- 48$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- 4, 0)$

Menurun pada $(- 4, 0)$ karena $f'' (x) < 0$

Step 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2} + 48 (0.1)$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $0.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01 + 48 (0.1)$

Kalikan $12$ dengan $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 48 (0.1)$

Kalikan $48$ dengan $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 4.8$

Tambahkan $0.12$ dan $4.8$ .

$f'' (0.1) = 4.92$

Jawaban akhirnya adalah $4.92$ .

$4.92$

Pada $0.1$ , turunan keduanya adalah $4.92$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Step 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 4, - 106), (0, 150)$ .

$(- 4, - 106), (0, 150)$

Step 9