Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Step 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Susun kembali suku-suku.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Step 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x e^{x}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{x})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

Tambahkan $e^{x} (2 x)$ dan $2 x e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pindahkan $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Tambahkan $2 x e^{x}$ dan $2 x e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Step 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Step 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Step 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Faktorkan $x e^{x}$ dari $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $x e^{x}$ dari $x^{2} e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

Faktorkan $x e^{x}$ dari $2 x e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

Faktorkan $x e^{x}$ dari $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ .

$x e^{x} (x + 2) = 0$

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Atur $e^{x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Atur $e^{x}$ sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

Selesaikan $e^{x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x e^{x} (x + 2) = 0$ benar.

$x = 0, - 2$

Step 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Step 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0, - 2$

Step 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

${(0)}^{2} e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Step 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$0 \cdot 1 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$0 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{0}$

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$0 + 0 + 2$

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 + 2$

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$2$

Step 10

$x = 0$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah minimum lokal

Step 11

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{0}$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$f (0) = 0$

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$y = 0$

Step 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 2$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

${(- 2)}^{2} e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Step 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$4 e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kurangi $8$ dengan $4$ .

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

Tambahkan $- 4$ dan $2$ .

$\frac{- 2}{e^{2}}$

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{e^{2}}$

Step 14

$x = - 2$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - 2$ adalah maksimum lokal

Step 15

Tentukan nilai y ketika $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 2) = 4 e^{- 2}$

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = 4 (\frac{1}{e^{2}})$

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{e^{2}}$

Jawaban akhirnya adalah $\frac{4}{e^{2}}$ .

$y = \frac{4}{e^{2}}$

Step 16

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x^{2} e^{x}$ .

$(0, 0)$ adalah minimum lokal

$(- 2, \frac{4}{e^{2}})$ adalah maksimum lokal

Step 17