Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{4} - 72 x^{2}$

Step 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 72 x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2})$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2})$

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $- 72$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 72 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 \frac{d}{d x} x^{2}$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 (2 x)$

Kalikan $2$ dengan $- 72$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 144 x$

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $4 x^{3} - 144 x$ .

$4 x^{3} - 144 x$

Step 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $4 x^{3} - 144 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$4 x^{3} - 144 x = 0$

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $4 x$ dari $4 x^{3} - 144 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $4 x$ dari $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 144 x = 0$

Faktorkan $4 x$ dari $- 144 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 36) = 0$

Faktorkan $4 x$ dari $4 x (x^{2}) + 4 x (- 36)$ .

$4 x (x^{2} - 36) = 0$

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 6$ .

$4 x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$4 x (x + 6) (x - 6) = 0$

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Atur $x + 6$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Atur $x + 6$ sama dengan $0$ .

$x + 6 = 0$

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 6$

Atur $x - 6$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Atur $x - 6$ sama dengan $0$ .

$x - 6 = 0$

Tambahkan $6$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 6$

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $4 x (x + 6) (x - 6) = 0$ benar.

$x = 0, - 6, 6$

Step 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, - 6, 6$ .

$0, - 6, 6$

Step 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Step 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 6)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $- 7$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 7) = 4 {(- 7)}^{3} - 144 \cdot - 7$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $- 7$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 7) = 4 \cdot - 343 - 144 \cdot - 7$

Kalikan $4$ dengan $- 343$ .

$f' (- 7) = - 1372 - 144 \cdot - 7$

Kalikan $- 144$ dengan $- 7$ .

$f' (- 7) = - 1372 + 1008$

Tambahkan $- 1372$ dan $1008$ .

$f' (- 7) = - 364$

Jawaban akhirnya adalah $- 364$ .

$- 364$

Pada $x = - 7$ , turunannya adalah $- 364$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 6)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 6)$ karena $f' (x) < 0$

Step 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 6, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} - 144 \cdot - 3$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 3) = 4 \cdot - 27 - 144 \cdot - 3$

Kalikan $4$ dengan $- 27$ .

$f' (- 3) = - 108 - 144 \cdot - 3$

Kalikan $- 144$ dengan $- 3$ .

$f' (- 3) = - 108 + 432$

Tambahkan $- 108$ dan $432$ .

$f' (- 3) = 324$

Jawaban akhirnya adalah $324$ .

$324$

Pada $x = - 3$ , turunannya adalah $324$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 6, 0)$ .

Meningkat pada $(- 6, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Step 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, 6)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 144 \cdot 3$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 144 \cdot 3$

Kalikan $4$ dengan $27$ .

$f' (3) = 108 - 144 \cdot 3$

Kalikan $- 144$ dengan $3$ .

$f' (3) = 108 - 432$

Kurangi $432$ dengan $108$ .

$f' (3) = - 324$

Jawaban akhirnya adalah $- 324$ .

$- 324$

Pada $x = 3$ , turunannya adalah $- 324$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, 6)$ .

Menurun pada $(0, 6)$ karena $f' (x) < 0$

Step 8

Substitusikan nilai dari interval $(6, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $7$ pada pernyataan tersebut.

$f' (7) = 4 {(7)}^{3} - 144 \cdot 7$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $7$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (7) = 4 \cdot 343 - 144 \cdot 7$

Kalikan $4$ dengan $343$ .

$f' (7) = 1372 - 144 \cdot 7$

Kalikan $- 144$ dengan $7$ .

$f' (7) = 1372 - 1008$

Kurangi $1008$ dengan $1372$ .

$f' (7) = 364$

Jawaban akhirnya adalah $364$ .

$364$

Pada $x = 7$ , turunannya adalah $364$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(6, \infty)$ .

Meningkat pada $(6, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Step 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- 6, 0), (6, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, - 6), (0, 6)$

Step 10