Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$

Step 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{5} - 5 x}{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{5} - 5 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x])$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5)$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Gabungkan $\frac{5}{5}$ dan $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Bagilah $x^{4}$ dengan $1$ .

$x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $- 5$ .

$x^{4} + \frac{- 5}{5}$

Hapus faktor persekutuan dari $- 5$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $5$ dari $- 5$ .

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{4} + \frac{- 1}{1}$

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$x^{4} - 1$

Step 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 0$

Tambahkan $4 x^{3}$ dan $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3}$

Step 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$x^{4} - 1 = 0$

Step 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{5} - 5 x}{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{5} - 5 x)$

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{5} - 5 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x)$

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5)$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{5}$ .

$f' (x) = \frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Gabungkan $\frac{5}{5}$ dan $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Bagilah $x^{4}$ dengan $1$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $- 5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 5}{5}$

Hapus faktor persekutuan dari $- 5$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $5$ dari $- 5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 1}{1}$

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = x^{4} - 1$

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x^{4} - 1$ .

$x^{4} - 1$

Step 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x^{4} - 1 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x^{4} - 1 = 0$

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{4} = 1$

Ambil akar pangkat 4 dari kedua sisi persamaan untuk mengeliminasi eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Step 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Step 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 1, - 1$

Step 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 1$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$4 {(1)}^{3}$

Step 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$4 \cdot 1$

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4$

Step 10

$x = 1$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 1$ adalah minimum lokal

Step 11

Tentukan nilai y ketika $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = \frac{{(1)}^{5} - 5 \cdot 1}{5}$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = \frac{1 - 5 \cdot 1}{5}$

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$f (1) = \frac{1 - 5}{5}$

Kurangi $5$ dengan $1$ .

$f (1) = \frac{- 4}{5}$

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (1) = - \frac{4}{5}$

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{4}{5}$

Step 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 1$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$4 {(- 1)}^{3}$

Step 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$4 \cdot - 1$

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- 4$

Step 14

$x = - 1$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - 1$ adalah maksimum lokal

Step 15

Tentukan nilai y ketika $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{5} - 5 \cdot - 1}{5}$

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $5$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 - 5 \cdot - 1}{5}$

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 5}{5}$

Tambahkan $- 1$ dan $5$ .

$f (- 1) = \frac{4}{5}$

Jawaban akhirnya adalah $\frac{4}{5}$ .

$y = \frac{4}{5}$

Step 16

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$ .

$(1, - \frac{4}{5})$ adalah minimum lokal

$(- 1, \frac{4}{5})$ adalah maksimum lokal

Step 17