Aljabar Contoh

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{{(x - 6)}^{2}}{144} = 1$

Step 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{{(x - 6)}^{2}}{144} = 1$

Step 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Step 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 5$

$b = 12$

$k = 0$

$h = 6$

Step 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(6, 0)$

Step 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2}}$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{25 + {(12)}^{2}}$

Naikkan $12$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{25 + 144}$

Tambahkan $25$ dan $144$ .

$\sqrt{169}$

Tulis kembali $169$ sebagai $13^{2}$ .

$\sqrt{13^{2}}$

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$13$

Step 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(6, 5)$

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $k$ .

$(h, k - a)$

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(6, - 5)$

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h, k \pm a)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(6, 5), (6, - 5)$

Step 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(6, 13)$

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(6, - 13)$

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(6, 13), (6, - 13)$

Step 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2}}}{5}$

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 12^{2}}}{5}$

Naikkan $12$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 144}}{5}$

Tambahkan $25$ dan $144$ .

$\frac{\sqrt{169}}{5}$

Tulis kembali $169$ sebagai $13^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{5}$

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{13}{5}$

Step 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{12^{2}}{13}$

Naikkan $12$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{144}{13}$

Step 10

Asimtot-asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ karena hiperbola ini membuka ke atas dan ke bawah.

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Step 11

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Sederhanakan $\frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tambahkan $\frac{5}{12} \cdot (x - (6))$ dan $0$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - 6)$

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot - 6$

Gabungkan $\frac{5}{12}$ dan $x$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot - 6$

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $6$ dari $12$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 (2)} \cdot - 6$

Faktorkan $6$ dari $- 6$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2} \cdot - 1$

Gabungkan $\frac{5}{2}$ dan $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 \cdot - 1}{2}$

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{- 5}{2}$

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}$

Step 12

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Sederhanakan $- \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tambahkan $- \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$ dan $0$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - 6)$

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 6$

Gabungkan $x$ dan $\frac{5}{12}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 6$

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{5}{12}$ ke dalam pembilangnya.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot - 6$

Faktorkan $6$ dari $12$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 (2)} \cdot - 6$

Faktorkan $6$ dari $- 6$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{2} \cdot - 1$

Gabungkan $\frac{- 5}{2}$ dan $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5 \cdot - 1}{2}$

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{2}$

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(6, 0)$

Verteks: $(6, 5), (6, - 5)$

Titik api: $(6, 13), (6, - 13)$

Eksentrisitas: $\frac{13}{5}$

Parameter Fokus: $\frac{144}{13}$

Asimtot: $y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}$ , $y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 15