Aljabar Contoh

$f (x) = - x^{5} + 52 x^{3} + 2 x^{2} - 147 x - 98$

Step 1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$f (x) = 2 x^{2} - 98 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Step 2

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2} - 98$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2}$ .

$f (x) = 2 (x^{2}) - 98 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Faktorkan $2$ dari $- 98$ .

$f (x) = 2 x^{2} + 2 \cdot - 49 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2} + 2 \cdot - 49$ .

$f (x) = 2 (x^{2} - 49) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Step 3

Tulis kembali $49$ sebagai $7^{2}$ .

$f (x) = 2 (x^{2} - 7^{2}) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Step 4

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 7$ .

$f (x) = 2 ((x + 7) (x - 7)) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Step 5

Faktorkan $x$ dari $- x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $x$ dari $- x^{5}$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + 52 x^{3} - 147 x$

Faktorkan $x$ dari $52 x^{3}$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + x (52 x^{2}) - 147 x$

Faktorkan $x$ dari $- 147 x$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + x (52 x^{2}) + x \cdot - 147$

Faktorkan $x$ dari $x (- x^{4}) + x (52 x^{2})$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4} + 52 x^{2}) + x \cdot - 147$

Faktorkan $x$ dari $x (- x^{4} + 52 x^{2}) + x \cdot - 147$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4} + 52 x^{2} - 147)$

Step 6

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- {(x^{2})}^{2} + 52 x^{2} - 147)$

Step 7

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 52 u - 147)$

Step 8

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot - 147 = 147$ dan yang jumlahnya adalah $b = 52$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $52$ dari $52 u$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 52 (u) - 147)$

Tulis kembali $52$ sebagai $3$ ditambah $49$

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + (3 + 49) u - 147)$

Terapkan sifat distributif.

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 3 u + 49 u - 147)$

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x ((- u^{2} + 3 u) + 49 u - 147)$

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (u (- u + 3) - 49 (- u + 3))$

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- u + 3$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x ((- u + 3) (u - 49))$

Step 9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x^{2} - 49))$

Step 10

Tulis kembali $49$ sebagai $7^{2}$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x^{2} - 7^{2}))$

Step 11

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 7$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) ((x + 7) (x - 7)))$

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7))$

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$

Step 12

Faktorkan $(x + 7) (x - 7)$ dari $2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $(x + 7) (x - 7)$ dari $2 (x + 7) (x - 7)$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$

Faktorkan $(x + 7) (x - 7)$ dari $x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2) + (x + 7) (x - 7) (x (- x^{2} + 3))$

Faktorkan $(x + 7) (x - 7)$ dari $(x + 7) (x - 7) (2) + (x + 7) (x - 7) (x (- x^{2} + 3))$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 + x (- x^{2} + 3))$

Step 13

Terapkan sifat distributif.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 + x (- x^{2}) + x \cdot 3)$

Step 14

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 - x \cdot x^{2} + x \cdot 3)$

Step 15

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 - x \cdot x^{2} + 3 \cdot x)$

Step 16

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pindahkan $x^{2}$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 - (x^{2} x) + 3 \cdot x)$

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 - (x^{2} x) + 3 \cdot x)$

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 - x^{2 + 1} + 3 \cdot x)$

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 - x^{3} + 3 \cdot x)$

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 - x^{3} + 3 x)$

Step 17

Susun kembali suku-suku.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (- x^{3} + 3 x + 2)$

Step 18

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis kembali $- x^{3} + 3 x + 2$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $- x^{3} + 3 x + 2$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2 q = \pm 1$

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Substitusikan $- 1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Substitusikan $- 1$ ke dalam polinomialnya.

$- {(- 1)}^{3} + 3 \cdot - 1 + 2$

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$- - 1 + 3 \cdot - 1 + 2$

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 + 3 \cdot - 1 + 2$

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$1 - 3 + 2$

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$- 2 + 2$

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$0$

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{- x^{3} + 3 x + 2}{x + 1}$

Bagilah $- x^{3} + 3 x + 2$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- x^{3} - x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{2} + x$

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x + 2$

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$- x^{2} + x + 2$

Tulis $- x^{3} + 3 x + 2$ sebagai himpunan faktor.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + x + 2))$

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ dan yang jumlahnya adalah $b = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan dengan $1$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + 1 x + 2))$

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1$ ditambah $2$

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + (- 1 + 2) x + 2))$

Terapkan sifat distributif.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} - 1 x + 2 x + 2))$

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) ((- x^{2} - 1 x) + 2 x + 2))$

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) (x (- x - 1) - 2 (- x - 1)))$

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- x - 1$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) ((- x - 1) (x - 2)))$

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x - 1) (x - 2))$

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (x + 1) (- x - 1) (x - 2)$

Step 19

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $- 1$ dari $x$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (- 1 (- x) + 1) (- x - 1) (x - 2)$

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (- 1 (- x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1) (x - 2)$

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (- x) - 1 (- 1)$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (- 1 (- x - 1)) (- x - 1) (x - 2)$

Hilangkan tanda kurung.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) \cdot (- 1 (- x - 1) (- x - 1) (x - 2))$

Naikkan $- x - 1$ menjadi pangkat $1$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) \cdot (- 1 ((- x - 1) (- x - 1)) (x - 2))$

Naikkan $- x - 1$ menjadi pangkat $1$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) \cdot (- 1 ((- x - 1) (- x - 1)) (x - 2))$

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) \cdot (- 1 {(- x - 1)}^{1 + 1} (x - 2))$

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) \cdot (- 1 {(- x - 1)}^{2} (x - 2))$