Kalkulus Contoh

$y = 3 x^{2} + 3 x$ , $(- 5, 1)$

Langkah 1

Tulis $y = 3 x^{2} + 3 x$ sebagai fungsi.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Langkah 2

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 3

$f (x)$ kontinu di $[- 5, 1]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 4

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (\int_{- 5}^{1} 3 x^{2} + 3 x d x)$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (\int_{- 5}^{1} 3 x^{2} d x + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

Langkah 7

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 \int_{- 5}^{1} x^{2} d x + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

Langkah 10

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 \int_{- 5}^{1} x d x)$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{1}))$

Langkah 12

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}))$

Langkah 12.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $1$ dan pada $- 5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}))$

Langkah 12.2.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $1$ dan pada $- 5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.3.2

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} - \frac{- 125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + \frac{125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{125}{3})) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.3.5

Kalikan $\frac{125}{3}$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + \frac{125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1 + 125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.3.7

Tambahkan $1$ dan $125$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{126}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.3.8

Hapus faktor persekutuan dari $126$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.8.1

Faktorkan $3$ dari $126$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.3.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.8.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3 (1)}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.3.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.3.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{42}{1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.3.8.2.4

Bagilah $42$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 \cdot 42 + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.3.9

Kalikan $3$ dengan $42$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.3.10

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.3.11

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1}{2} - \frac{25}{2}))$

Langkah 12.2.3.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1 - 25}{2}))$

Langkah 12.2.3.13

Kurangi $25$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{- 24}{2}))$

Langkah 12.2.3.14

Hapus faktor persekutuan dari $- 24$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.14.1

Faktorkan $2$ dari $- 24$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2}))$

Langkah 12.2.3.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.14.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2 (1)}))$

Langkah 12.2.3.14.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1}))$

Langkah 12.2.3.14.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{- 12}{1}))$

Langkah 12.2.3.14.2.4

Bagilah $- 12$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 \cdot - 12)$

Langkah 12.2.3.15

Kalikan $3$ dengan $- 12$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 - 36)$

Langkah 12.2.3.16

Kurangi $36$ dengan $126$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (90)$

Langkah 13

Tambahkan $1$ dan $5$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 90$

Langkah 14

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Faktorkan $6$ dari $90$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (15))$

Langkah 14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 15)$

Langkah 14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = 15$

Langkah 15

Masukkan Soal