Aljabar Contoh

$(1, 2)$ , $(4, 2)$ , $(5, 2)$

Langkah 1

Terdapat dua persamaan umum untuk elips.

Persamaan elips datar $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Persamaan elips tegak $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 2

$a$ merupakan jarak antara verteks $(5, 2)$ dan titik pusat $(1, 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan rumus jarak untuk menentukan jarak antara dua titik tersebut.

$Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Langkah 2.2

Substitusikan nilai-nilai aktual dari titik-titik ke dalam rumus jarak.

$a = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kurangi $1$ dengan $5$ .

$a = \sqrt{4^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Langkah 2.3.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$a = \sqrt{16 + {(2 - 2)}^{2}}$

Langkah 2.3.3

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$a = \sqrt{16 + 0^{2}}$

Langkah 2.3.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$a = \sqrt{16 + 0}$

Langkah 2.3.5

Tambahkan $16$ dan $0$ .

$a = \sqrt{16}$

Langkah 2.3.6

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$a = \sqrt{4^{2}}$

Langkah 2.3.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$a = 4$

Langkah 3

$c$ merupakan jarak antara fokus $(4, 2)$ dan pusat $(1, 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan rumus jarak untuk menentukan jarak antara dua titik tersebut.

$Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Langkah 3.2

Substitusikan nilai-nilai aktual dari titik-titik ke dalam rumus jarak.

$c = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$c = \sqrt{3^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$c = \sqrt{9 + {(2 - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.3

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Langkah 3.3.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$c = \sqrt{9 + 0}$

Langkah 3.3.5

Tambahkan $9$ dan $0$ .

$c = \sqrt{9}$

Langkah 3.3.6

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$c = \sqrt{3^{2}}$

Langkah 3.3.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$c = 3$

Langkah 4

Menggunakan persamaan $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Substitusikan $4$ untuk $a$ dan $3$ untuk $c$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai ${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ .

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

Langkah 4.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$16 - b^{2} = 3^{2}$

Langkah 4.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$16 - b^{2} = 9$

Langkah 4.4

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $b$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kurangkan $16$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- b^{2} = 9 - 16$

Langkah 4.4.2

Kurangi $16$ dengan $9$ .

$- b^{2} = - 7$

Langkah 4.5

Bagi setiap suku pada $- b^{2} = - 7$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Bagilah setiap suku di $- b^{2} = - 7$ dengan $- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Langkah 4.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Langkah 4.5.2.2

Bagilah $b^{2}$ dengan $1$ .

$b^{2} = \frac{- 7}{- 1}$

Langkah 4.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.3.1

Bagilah $- 7$ dengan $- 1$ .

$b^{2} = 7$

Langkah 4.6

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$b = \pm \sqrt{7}$

Langkah 4.7

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$b = \sqrt{7}$

Langkah 4.7.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$b = - \sqrt{7}$

Langkah 4.7.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$b = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Langkah 5

$b$ adalah jarak, yang berarti harus merupakan bilangan positif.

$b = \sqrt{7}$

Langkah 6

Gradien dari garis antara fokus $(4, 2)$ dan pusat $(1, 2)$ menentukan apakah elipsnya tegak atau datar. Jika gradien $0$ , grafiknya datar. Jika gradien tidak terdefinisi, grafiknya tegak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gradien sama dengan perubahan pada $y$ per perubahan pada $x$ , atau naik per geser.

$m = \frac{perubahan pada y}{perubahan pada x}$

Langkah 6.2

Perubahan pada $x$ sama dengan beda pada koordinat x (juga disebut pergeseran), dan perubahan pada $y$ sama dengan beda di koordinat y (juga disebut kenaikan).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Langkah 6.3

Substitusikan ke dalam nilai-nilai dari $x$ dan $y$ dalam persamaannya untuk menghitung gradien.

$m = \frac{2 - (2)}{1 - (4)}$

Langkah 6.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$m = \frac{2 - 2}{1 - (4)}$

Langkah 6.4.1.2

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$m = \frac{0}{1 - (4)}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$m = \frac{0}{1 - 4}$

Langkah 6.4.2.2

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$m = \frac{0}{- 3}$

Langkah 6.4.3

Bagilah $0$ dengan $- 3$ .

$m = 0$

Langkah 6.5

Persamaan umum untuk elips datar adalah $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 7

Substitusikan nilai-nilai $h = 1$ , $k = 2$ , $a = 4$ , dan $b = \sqrt{7}$ ke dalam $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ untuk mendapatkan persamaan elips $\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Langkah 8

Sederhanakan untuk menentukan persamaan final dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Langkah 8.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Langkah 8.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Langkah 8.4

Tulis kembali ${\sqrt{7}}^{2}$ sebagai $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{7}$ sebagai $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Langkah 8.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Langkah 8.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Langkah 8.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Langkah 8.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Langkah 8.4.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Langkah 9

Masukkan Soal