ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Step 1

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = \cos^{2} (y) - \sin^{2} (y)$

Step 2

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

समीकरण को $\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) = x$

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) - x = 0$

कोज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$\cos (2 y) - x = 0$

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

समीकरण के दोनों पक्षों में $x$ जोड़ें.

$\cos (2 y) = x$

कोज्या के अंदर से $y$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$2 y = \arccos (x)$

$2 y = \arccos (x)$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2 y = \arccos (x)$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\arccos (x)}{2}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$

Step 4

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ , $f (x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \frac{\arccos (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))}{2}$

कोज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \frac{\arccos (\cos (2 x))}{2}$

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (\frac{\arccos (x)}{2})$ का मान ज्ञात करें.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin^{2} (\frac{\arccos (x)}{2})$

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ और $b = \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

FOIL विधि का उपयोग करके $(\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

गुणनखंडों को $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ और $\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

$- \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ और $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ जोड़ें.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + 0 + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

$\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ और $0$ जोड़ें.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$\cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

$\cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = {\cos (\frac{\arccos (x)}{2})}^{1 + 1} + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$

$- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$\sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - (\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

$\sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - (\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - {\sin (\frac{\arccos (x)}{2})}^{1 + 1}$

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin^{2} (\frac{\arccos (x)}{2})$

कोज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\arccos (x))$

कोज्या और चापकोज्या के फलन व्युत्क्रम हैं.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = x$

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ , $f (x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$