प्री-कैलकुलस उदाहरण

$x^{2} - y^{2} = 1$

Step 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{2}$ घटाएं.

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

Step 2

$- y^{2} = 1 - x^{2}$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- y^{2} = 1 - x^{2}$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$y^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

Step 3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लें.

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

Step 4

$\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

$- 1^{2}$ और $x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Step 5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Step 6

रेडिकैंड को $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

Step 7

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 1, 1$

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

अंतराल $x < - 1$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

अंतराल $x < - 1$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 4$

मूल असमानता में $x$ को $- 4$ से बदलें.

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

बाईं ओर $15$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

अंतराल $- 1 < x < 1$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

अंतराल $- 1 < x < 1$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 0$

मूल असमानता में $x$ को $0$ से बदलें.

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

बाईं ओर $- 1$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

अंतराल $x > 1$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

अंतराल $x > 1$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 4$

मूल असमानता में $x$ को $4$ से बदलें.

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

बाईं ओर $15$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < - 1$ सही

$- 1 < x < 1$ गलत

$x > 1$ सही

$x < - 1$ सही

$- 1 < x < 1$ गलत

$x > 1$ सही

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$x \leq - 1$ या $x \geq 1$

Step 8

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \leq - 1, x \geq 1}$

Step 9

श्रेणी सभी मान्य $y$ मानों का सेट है. परिसर पता करने के लिए ग्राफ का प्रयोग करें.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${y | y \in ℝ}$

Step 10

डोमेन और परिसर निर्धारित करें.

डोमेन: $(- \infty, - 1] \cup [1, \infty), {x | x \leq - 1, x \geq 1}$

परिसर: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Step 11