कैलकुलस उदाहरण

$\ln (x^{2} + 16)$

Step 1

$\ln (x^{2} + 16)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \ln (x^{2} + 16)$

Step 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2} + 16$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + 16$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 16$ से बदलें.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 16$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ है.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (16))$

चूंकि $x$ के संबंध में $16$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $16$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x + 0)$

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x)$

$2$ और $\frac{1}{x^{2} + 16}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 16} \cdot x$

$\frac{2}{x^{2} + 16}$ और $x$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 16}$

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2 x}{x^{2} + 16}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$ है.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 16})$

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x^{2} + 16$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$x^{2} + 16$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 16$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

चूंकि $x$ के संबंध में $16$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $16$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$2$ और $\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

$2$ को $16$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ है.

$\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$- 2 x^{2} + 32 = 0$

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

समीकरण के दोनों पक्षों से $32$ घटाएं.

$- 2 x^{2} = - 32$

$- 2 x^{2} = - 32$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 2 x^{2} = - 32$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से विभाजित करें.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{- 32}{- 2}$

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 32$ को $- 2$ से विभाजित करें.

$x^{2} = 16$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

$\pm \sqrt{16}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 4$

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 4$

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 4$

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 4, - 4$

Step 3

$f (x) = \ln (x^{2} + 16)$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ परिभाषित है, तर्क को $\ln (x^{2} + 16)$ से बड़ा $0$ में सेट करें.

$x^{2} + 16 > 0$

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

असमानता के दोनों पक्षों से $16$ घटाएं.

$x^{2} > - 16$

चूंकि बाईं ओर सम घात है, यह सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सदैव धनात्मक होता है.

सभी वास्तविक संख्या

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

Step 4

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Step 5

अंतराल $(- \infty, - 4)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

व्यंजक में चर $x$ को $- 6$ से बदलें.

$f'' (- 6) = \frac{- 2 {(- 6)}^{2} + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

$- 2$ को $36$ से गुणा करें.

$f'' (- 6) = \frac{- 72 + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

$- 72$ और $32$ जोड़ें.

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{{(36 + 16)}^{2}}$

$36$ और $16$ जोड़ें.

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{52^{2}}$

$52$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{2704}$

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 40$ और $2704$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 40$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$f'' (- 6) = \frac{8 (- 5)}{2704}$

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2704$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$f'' (- 6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (- 6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 6) = \frac{- 5}{338}$

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (- 6) = - \frac{5}{338}$

अंतिम उत्तर $- \frac{5}{338}$ है.

$- \frac{5}{338}$

अंतराल $(- \infty, - 4)$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (- 6)$ ऋणात्मक है.

$(- \infty, - 4)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

Step 6

अंतराल $(- 4, 4)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 32}{{({(0)}^{2} + 16)}^{2}}$

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = \frac{0 + 32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

$0$ और $32$ जोड़ें.

$f'' (0) = \frac{32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f'' (0) = \frac{32}{{(0 + 16)}^{2}}$

$0$ और $16$ जोड़ें.

$f'' (0) = \frac{32}{16^{2}}$

$16$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0) = \frac{32}{256}$

$32$ और $256$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$32$ में से $32$ का गुणनखंड करें.

$f'' (0) = \frac{32 (1)}{256}$

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$256$ में से $32$ का गुणनखंड करें.

$f'' (0) = \frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 8}$

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (0) = \frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 8}$

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (0) = \frac{1}{8}$

अंतिम उत्तर $\frac{1}{8}$ है.

$\frac{1}{8}$

अंतराल $(- 4, 4)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (0)$ धनात्मक है.

$(- 4, 4)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

Step 7

अंतराल $(4, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

व्यंजक में चर $x$ को $6$ से बदलें.

$f'' (6) = \frac{- 2 {(6)}^{2} + 32}{{({(6)}^{2} + 16)}^{2}}$

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 32}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

$- 2$ को $36$ से गुणा करें.

$f'' (6) = \frac{- 72 + 32}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

$- 72$ और $32$ जोड़ें.

$f'' (6) = \frac{- 40}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (6) = \frac{- 40}{{(36 + 16)}^{2}}$

$36$ और $16$ जोड़ें.

$f'' (6) = \frac{- 40}{52^{2}}$

$52$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (6) = \frac{- 40}{2704}$

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 40$ और $2704$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 40$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$f'' (6) = \frac{8 (- 5)}{2704}$

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2704$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$f'' (6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (6) = \frac{- 5}{338}$

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (6) = - \frac{5}{338}$

अंतिम उत्तर $- \frac{5}{338}$ है.

$- \frac{5}{338}$

अंतराल $(4, \infty)$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (6)$ ऋणात्मक है.

$(4, \infty)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

Step 8

जब दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है तो ग्राफ अवतल नीचे होता है और दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक होने पर अवतल ऊपर होता है.

$(- \infty, - 4)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

$(- 4, 4)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

$(4, \infty)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

Step 9