कैलकुलस उदाहरण

$\frac{2 x}{x^{2} - 4}$

Step 1

$\frac{2 x}{x^{2} - 4}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 4}$

Step 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2 x}{x^{2} - 4}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 4}]$ है.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 4})$

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x^{2} - 4$ है.

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

$x^{2} - 4$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

$x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$f' (x) = 2 (\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

$2$ और $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 8) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}}$

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

घातांक को ${({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 8) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2 \cdot 2}}$

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 8) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 2 x^{2} - 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ है.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

चूंकि $x$ के संबंध में $- 8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 4 x$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x^{2} - 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - 4$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 4$ से बदलें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) (2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (2 x))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$2$ को $x^{2} - 4$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) (2 \cdot ((x^{2} - 4) x))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 4 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) ((x^{2} - 4) x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(x^{2} - 4)}^{2} x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

${(x^{2} - 4)}^{2}$ को $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{- 4 ((x^{2} - 4) (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

FOIL विधि का उपयोग करके $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} (x^{2} - 4) - 4 (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$2$ और $2$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 4$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 4 \cdot x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 4 x^{2}$ में से $4 x^{2}$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 8 x^{2} + 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 8$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} + 32 x^{2} - 4 \cdot 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 4$ को $16$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} x + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

घातांक जोड़कर $x^{4}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x$ ले जाएं.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$x$ को $x^{4}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{1 + 4} + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$1$ और $4$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x$ ले जाएं.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 (x \cdot x^{2}) - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 (x \cdot x^{2}) - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{1 + 2} - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 4$ को $- 8$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{2 + 1} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$2$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

FOIL विधि का उपयोग करके $(8 x^{2} + 32) (x^{3} - 4 x)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{2} (x^{3} - 4 x) + 32 (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x^{3}$ ले जाएं.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 (x^{3} x^{2}) + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{3 + 2} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$3$ और $2$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 x^{2} x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x$ ले जाएं.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 x^{3}) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$8$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 4$ को $32$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{3} - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 32 x^{3}$ और $32 x^{3}$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 0 - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$8 x^{5}$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 4 x^{5}$ और $8 x^{5}$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 64 x$ में से $128 x$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 32 x^{3} - 192 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$4 x^{5} + 32 x^{3} - 192 x$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$4 x^{5}$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 32 x^{3} - 192 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$32 x^{3}$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (8 x^{2}) - 192 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 192 x$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (8 x^{2}) + 4 x (- 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$4 x (x^{4}) + 4 x (8 x^{2})$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} + 8 x^{2}) + 4 x (- 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$4 x (x^{4} + 8 x^{2}) + 4 x (- 48)$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} + 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{4 x ({(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$f'' (x) = \frac{4 x (u^{2} + 8 u - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} + 8 u - 48$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 48$ है और जिसका योग $8$ है.

$- 4, 12$

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$f'' (x) = \frac{4 x ((u - 4) (u + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$f'' (x) = \frac{4 x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{4 x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{4}}$

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{((x + 2) (x - 2))}^{4}}$

उत्पाद नियम को $(x + 2) (x - 2)$ पर लागू करें.

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

$x + 2$ और ${(x + 2)}^{4}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)$ में से $x + 2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((4 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

${(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ में से $x + 2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((4 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((4 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{(4 x (x - 2)) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

$x - 2$ और ${(x - 2)}^{4}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$(4 x (x - 2)) (x^{2} + 12)$ में से $x - 2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((4 x) (x^{2} + 12))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ में से $x - 2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((4 x) (x^{2} + 12))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((4 x) (x^{2} + 12))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{(4 x) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ है.

$\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$4 x (x^{2} + 12) = 0$

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x^{2} + 12 = 0$

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

$x^{2} + 12$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x^{2} + 12$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 12 = 0$

$x$ के लिए $x^{2} + 12 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

समीकरण के दोनों पक्षों से $12$ घटाएं.

$x^{2} = - 12$

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लें.

$x = \pm \sqrt{- 12}$

$\pm \sqrt{- 12}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 12$ को $- 1 (12)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1 (12)}$

$\sqrt{- 1 (12)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \cdot \sqrt{12}$

$12$ को $2^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}$

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{3})$

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \pm 2 i \sqrt{3}$

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 2 i \sqrt{3}$

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 2 i \sqrt{3}$

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $4 x (x^{2} + 12) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

Step 3

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 4}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$\frac{2 x}{x^{2} - 4}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{2} - 4 = 0$

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x^{2} = 4$

$x = \pm \sqrt{4}$

$\pm \sqrt{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 2$

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 2$

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 2$

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 2, - 2$

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 2, - 2}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 2, - 2}$

Step 4

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Step 5

अंतराल $(- \infty, - 2)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

व्यंजक में चर $x$ को $- 4$ से बदलें.

$f'' (- 4) = \frac{4 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 12)}{{((- 4) + 2)}^{3} {((- 4) - 2)}^{3}}$

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 4$ और $2$ जोड़ें.

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

$- 4$ में से $2$ घटाएं.

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 2)}^{3} {(- 6)}^{3}}$

$- 2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{- 8 {(- 6)}^{3}}$

$- 6$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{- 8 \cdot - 216}$

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 4) = \frac{- 16 (16 + 12)}{- 8 \cdot - 216}$

$16$ और $12$ जोड़ें.

$f'' (- 4) = \frac{- 16 \cdot 28}{- 8 \cdot - 216}$

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 8$ को $- 216$ से गुणा करें.

$f'' (- 4) = \frac{- 16 \cdot 28}{1728}$

$- 16$ को $28$ से गुणा करें.

$f'' (- 4) = \frac{- 448}{1728}$

$- 448$ और $1728$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 448$ में से $64$ का गुणनखंड करें.

$f'' (- 4) = \frac{64 (- 7)}{1728}$

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$1728$ में से $64$ का गुणनखंड करें.

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot - 7}{64 \cdot 27}$

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot - 7}{64 \cdot 27}$

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 4) = \frac{- 7}{27}$

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (- 4) = - \frac{7}{27}$

अंतिम उत्तर $- \frac{7}{27}$ है.

$- \frac{7}{27}$

अंतराल $(- \infty, - 2)$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (- 4)$ ऋणात्मक है.

$(- \infty, - 2)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

Step 6

अंतराल $(- 2, 0)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f'' (- 1) = \frac{4 (- 1) ({(- 1)}^{2} + 12)}{{((- 1) + 2)}^{3} {((- 1) - 2)}^{3}}$

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{{(- 1 + 2)}^{3} {(- 1 - 2)}^{3}}$

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1^{3} {(- 1 - 2)}^{3}}$

$- 1$ में से $2$ घटाएं.

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1^{3} {(- 3)}^{3}}$

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1 {(- 3)}^{3}}$

$- 3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1 \cdot - 27}$

$- 27$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{- 27}$

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 1) = \frac{- 4 (1 + 12)}{- 27}$

$1$ और $12$ जोड़ें.

$f'' (- 1) = \frac{- 4 \cdot 13}{- 27}$

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 4$ को $13$ से गुणा करें.

$f'' (- 1) = \frac{- 52}{- 27}$

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$f'' (- 1) = \frac{52}{27}$

अंतिम उत्तर $\frac{52}{27}$ है.

$\frac{52}{27}$

अंतराल $(- 2, 0)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (- 1)$ धनात्मक है.

$(- 2, 0)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

Step 7

अंतराल $(0, 2)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f'' (1) = \frac{4 (1) ({(1)}^{2} + 12)}{{((1) + 2)}^{3} {((1) - 2)}^{3}}$

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{{(1 + 2)}^{3} {(1 - 2)}^{3}}$

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{3^{3} {(1 - 2)}^{3}}$

$1$ में से $2$ घटाएं.

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{3^{3} {(- 1)}^{3}}$

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{27 {(- 1)}^{3}}$

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{27 \cdot - 1}$

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f'' (1) = \frac{4 (1 + 12)}{27 \cdot - 1}$

$1$ और $12$ जोड़ें.

$f'' (1) = \frac{4 \cdot 13}{27 \cdot - 1}$

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$27$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (1) = \frac{4 \cdot 13}{- 27}$

$4$ को $13$ से गुणा करें.

$f'' (1) = \frac{52}{- 27}$

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (1) = - \frac{52}{27}$

अंतिम उत्तर $- \frac{52}{27}$ है.

$- \frac{52}{27}$

अंतराल $(0, 2)$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (1)$ ऋणात्मक है.

$(0, 2)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

Step 8

अंतराल $(2, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$f'' (4) = \frac{4 (4) ({(4)}^{2} + 12)}{{((4) + 2)}^{3} {((4) - 2)}^{3}}$

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$4$ और $2$ जोड़ें.

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{6^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

$4$ में से $2$ घटाएं.

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{6^{3} \cdot 2^{3}}$

$6$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{216 \cdot 2^{3}}$

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{216 \cdot 8}$

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (4) = \frac{16 (16 + 12)}{216 \cdot 8}$

$16$ और $12$ जोड़ें.

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 28}{216 \cdot 8}$

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$216$ को $8$ से गुणा करें.

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 28}{1728}$

$16$ को $28$ से गुणा करें.

$f'' (4) = \frac{448}{1728}$

$448$ और $1728$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$448$ में से $64$ का गुणनखंड करें.

$f'' (4) = \frac{64 (7)}{1728}$

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$1728$ में से $64$ का गुणनखंड करें.

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 7}{64 \cdot 27}$

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 7}{64 \cdot 27}$

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (4) = \frac{7}{27}$

अंतिम उत्तर $\frac{7}{27}$ है.

$\frac{7}{27}$

अंतराल $(2, \infty)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (4)$ धनात्मक है.

$(2, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

Step 9

जब दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है तो ग्राफ अवतल नीचे होता है और दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक होने पर अवतल ऊपर होता है.

$(- \infty, - 2)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

$(- 2, 0)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

$(0, 2)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

$(2, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

Step 10