कैलकुलस उदाहरण

$x = 1$ , $x = 3$ , $y = x^{3} - 8$ , $y = 0$

Step 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$x^{3} - 8 = 0$

$x$ के लिए $x^{3} - 8 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

समीकरण के दोनों पक्षों में $8$ जोड़ें.

$x^{3} = 8$

समीकरण के दोनों पक्षों से $8$ घटाएं.

$x^{3} - 8 = 0$

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$8$ को $2^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{3} - 2^{3} = 0$

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के अंतर का उपयोग करने वाले गुणनखंड $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ जहाँ $a = x$ और $b = 2$ हैं.

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 0$

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

$x^{2} + 2 x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x^{2} + 2 x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

$x$ के लिए $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = 2$ और $c = 4$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$- 4$ को $4$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$4$ में से $16$ घटाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$- 12$ को $- 1 (12)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1 (12)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$12$ को $2^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ को सरल करें.

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$- 4$ को $4$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$4$ में से $16$ घटाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$- 12$ को $- 1 (12)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1 (12)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$12$ को $2^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ को सरल करें.

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$- 4$ को $4$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$4$ में से $16$ घटाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$- 12$ को $- 1 (12)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1 (12)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$12$ को $2^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ को सरल करें.

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$2$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 0$

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Step 2

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Step 3

$1$ और $3$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$1$ और $3$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{1}^{3} 0 - (x^{3} - 8) d x$

$0$ में से $x^{3} - 8$ घटाएं.

$\int_{1}^{3} - (x^{3} - 8) d x$

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 8 d x$

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} x^{4}$ है.

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

$\frac{1}{4}$ और $x^{4}$ को मिलाएं.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 8 x]_{1}^{3}$

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$3$ पर और $1$ पर $\frac{x^{4}}{4}$ का मान ज्ञात करें.

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 8 x]_{1}^{3}$

$3$ पर और $1$ पर $8 x$ का मान ज्ञात करें.

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{81 - 1}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

$81$ में से $1$ घटाएं.

$- \frac{80}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

$80$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$80$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{20}{1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

$20$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 1 \cdot 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

$- 1$ को $20$ से गुणा करें.

$- 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

$8$ को $3$ से गुणा करें.

$- 20 + 24 - 8 \cdot 1$

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$- 20 + 24 - 8$

$24$ में से $8$ घटाएं.

$- 20 + 16$

$- 20$ और $16$ जोड़ें.

$- 4$

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 - (0) d x$

$x^{3} - 8$ में से $0$ घटाएं.

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x$

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 8 d x$

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} x^{4}$ है.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 8 d x$

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + - 8 x]_{1}^{3}$

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}$ और $- 8 x]_{1}^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} x^{4} - 8 x]_{1}^{3}$

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$3$ पर और $1$ पर $\frac{1}{4} x^{4} - 8 x$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - 8 \cdot 3) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{4} \cdot 81 - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

$\frac{1}{4}$ और $81$ को मिलाएं.

$\frac{81}{4} - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

$- 8$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{81}{4} - 24 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

$- 24$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{81}{4} - 24 \cdot \frac{4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

$- 24$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{81}{4} + \frac{- 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{81 - 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 24$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{81 - 96}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

$81$ में से $96$ घटाएं.

$\frac{- 15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - 8 \cdot 1)$

$\frac{1}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot 1)$

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8)$

$- 8$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4})$

$- 8$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4})$

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 8 \cdot 4}{4}$

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 8$ को $4$ से गुणा करें.

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 32}{4}$

$1$ में से $32$ घटाएं.

$- \frac{15}{4} - \frac{- 31}{4}$

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{15}{4} - - \frac{31}{4}$

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{15}{4} + 1 (\frac{31}{4})$

$\frac{31}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{15}{4} + \frac{31}{4}$

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 15 + 31}{4}$

$- 15$ और $31$ जोड़ें.

$\frac{16}{4}$

$16$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 \cdot 4}{4}$

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4}{1}$

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$4$

Step 4