कैलकुलस उदाहरण

$y = \tan^{-1} (x^{2})$

Step 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \tan^{-1} (x)$ और $g (x) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\tan^{-1} (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})$

$u$ के संबंध में $\tan^{-1} (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + u^{2}}$ है.

$f' (x) = \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$f' (x) = \frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

घातांक को ${(x^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot (2 x)$

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2$ और $\frac{1}{1 + x^{4}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{2}{1 + x^{4}} \cdot x$

$\frac{2}{1 + x^{4}}$ और $x$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{2 x}{1 + x^{4}}$

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Step 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ है.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{4} + 1})$

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x^{4} + 1$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

$x^{4} + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$4 x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x^{3}$ ले जाएं.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

$x^{3}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

$3$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

$x^{4}$ में से $4 x^{4}$ घटाएं.

$f'' (x) = 2 (\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

$2$ और $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

$- 6 x^{4} + 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 6 x^{4}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

$2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

$- 3 x^{4}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

$- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

$- (3 x^{4} - 1)$ को $- 1 (3 x^{4} - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$