कैलकुलस उदाहरण

$1 - 2 \sin (x)$

Step 1

$1 - 2 \sin (x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 1 - 2 \sin (x)$

Step 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - 2 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$f' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f' (x) = 0 - 2 \cos (x)$

$0$ में से $2 \cos (x)$ घटाएं.

$f' (x) = - 2 \cos (x)$

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 2 \cos (x)$ है.

$- 2 \cos (x)$

Step 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 2 \cos (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 2 \cos (x) = 0$

$- 2 \cos (x) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 2 \cos (x) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से विभाजित करें.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

$\cos (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (x) = \frac{0}{- 2}$

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$0$ को $- 2$ से विभाजित करें.

$\cos (x) = 0$

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (0)$

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$x = \frac{π}{2}$

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

$2 π - \frac{π}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 π - π}{2}$

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{3 π}{2}$

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

$\cos (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

Step 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $\frac{π}{2} + π n$ हैं.

$\frac{π}{2} + π n$

Step 5

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = - 2 \cos (x)$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = 1 - 2 \sin (x)$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ है.

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Step 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{2} + π n - 1$ से बदलें.

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = - 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

अंतिम उत्तर $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ है.

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

सरल करें.

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

$x = \frac{π}{2} + π n - 1$ पर व्युत्पन्न $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ पर घटता हुआ

Step 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{2} + π n + 1$ से बदलें.

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = - 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

अंतिम उत्तर $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ है.

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

सरल करें.

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

$x = \frac{π}{2} + π n + 1$ पर व्युत्पन्न $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ पर घटता हुआ

Step 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, \frac{π}{2} + π n), (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Step 9