कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (x) - x)}{x^{3}}$

Step 1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

जैसे-जैसे $x$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sin (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sin (0) + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $3$ को $x^{3}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{0^{3}}$

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{0}{0}$

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

Step 2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (x) - x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Step 3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sin (x) - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

$\frac{d}{d x} [- x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \cos (x)}{3 x^{2}}$

Step 4

$\frac{1}{3}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \cos (x)}{x^{2}}$

Step 5

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1 + \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 1 + \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

$0$ में से $\sin (x)$ घटाएं.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{2 x}$

Step 6

$\frac{1}{2}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{x}$

Step 7

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 0}{lim_{x \to 0} x}$

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x)}{1}$

$- \cos (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} - \cos (x)$

Step 8

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \cos (x)$

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (lim_{x \to 0} x)$

Step 9

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (0)$

Step 10

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$\frac{1}{3}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3 \cdot 2} \cdot - 1 \cos (0)$

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{6} \cdot - 1 \cos (0)$

$\frac{1}{6}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{- 1}{6} \cos (0)$

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{6} \cos (0)$

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$- \frac{1}{6} \cdot 1$

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{6}$