कैलकुलस उदाहरण

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (8 t)}{\sin (2 t)}$

Step 1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{t \to 0} \tan (8 t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि स्पर्शरेखा सतत है.

$\frac{\tan (lim_{t \to 0} 8 t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

$8$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{\tan (8 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

$t$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $t$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\tan (8 \cdot 0)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$8$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{\tan (0)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

$\tan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{0}{\sin (lim_{t \to 0} 2 t)}$

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{0}{\sin (2 lim_{t \to 0} t)}$

$t$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $t$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{0}{\sin (0)}$

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0}{0}$

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

Step 2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (8 t)}{\sin (2 t)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\tan (8 t)]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Step 3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\tan (8 t)]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \tan (t)$ और $g (t) = 8 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $8 t$ के रूप में सेट करें.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [8 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

$u$ के संबंध में $\tan (u)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u)$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [8 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

$u$ की सभी घटनाओं को $8 t$ से बदलें.

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [8 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

चूंकि $8$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $8 t$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) (8 \frac{d}{d t} [t])}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) (8 \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) \cdot 8}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

$8$ को $\sec^{2} (8 t)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$lim_{t \to 0} \frac{8 \cdot \sec^{2} (8 t)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

$8$ को $\sec^{2} (8 t)$ से गुणा करें.

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \sin (t)$ और $g (t) = 2 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 t$ के रूप में सेट करें.

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [2 t]}$

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (u) \frac{d}{d t} [2 t]}$

$u$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]}$

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])}$

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) (2 \cdot 1)}$

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) \cdot 2}$

$2$ को $\cos (2 t)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{2 \cdot \cos (2 t)}$

$2$ को $\cos (2 t)$ से गुणा करें.

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{2 \cos (2 t)}$

Step 4

$8$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$8 \sec^{2} (8 t)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to 0} \frac{2 (4 \sec^{2} (8 t))}{2 \cos (2 t)}$

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2 \cos (2 t)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to 0} \frac{2 (4 \sec^{2} (8 t))}{2 (\cos (2 t))}$

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{t \to 0} \frac{2 (4 \sec^{2} (8 t))}{2 \cos (2 t)}$

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{t \to 0} \frac{4 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t)}$

Step 5

$4$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$4 lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t)}$

Step 6

जैसे ही $t$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$4 \frac{lim_{t \to 0} \sec^{2} (8 t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 7

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $\sec^{2} (8 t)$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$4 \frac{{(lim_{t \to 0} \sec (8 t))}^{2}}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 8

सीमा को त्रिकोणमितीय फलन के अंदर ले जाएँ क्योंकि कोटिज्या सतत है.

$4 \frac{\sec^{2} (lim_{t \to 0} 8 t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 9

$8$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$4 \frac{\sec^{2} (8 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 10

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$4 \frac{\sec^{2} (8 lim_{t \to 0} t)}{\cos (lim_{t \to 0} 2 t)}$

Step 11

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$4 \frac{\sec^{2} (8 lim_{t \to 0} t)}{\cos (2 lim_{t \to 0} t)}$

Step 12

$t$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$t$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $t$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$4 \frac{\sec^{2} (8 \cdot 0)}{\cos (2 lim_{t \to 0} t)}$

$t$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $t$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$4 \frac{\sec^{2} (8 \cdot 0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Step 13

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$8$ को $0$ से गुणा करें.

$4 \frac{\sec^{2} (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$4 \frac{1^{2}}{\cos (2 \cdot 0)}$

एक का कोई भी घात एक होता है.

$4 \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$4 \frac{1}{\cos (0)}$

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$4 (\frac{1}{1})$

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 (\frac{1}{1})$

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 \cdot 1$

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4$