कैलकुलस उदाहरण

$\sin^{2} (2 t)$

Step 1

मान लीजिए $u_{1} = 2 t$ .फिर $d u_{1} = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

मान लें $u_{1} = 2 t$ . $\frac{d u_{1}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 2

$\sin^{2} (u_{1})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 4

$\sin^{2} (u_{1})$ को $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Step 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{4} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 9

चूँकि $- 1$ बटे $u_{1}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 10

मान लीजिए $u_{2} = 2 u_{1}$ .फिर $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

मान लें $u_{2} = 2 u_{1}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2 u_{1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

चूंकि $2$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $2 u_{1}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Step 11

$\cos (u_{2})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Step 12

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Step 13

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{2})$ है.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Step 14

सरल करें.

$\frac{1}{4} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Step 15

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 u_{1}$ से बदलें.

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (2 (2 t))) + C$

Step 16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (4 t)) + C$

$\sin (4 t)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{4} (2 t) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2 (2)} (2 t) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

$2 t$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2 (2)} (2 (t)) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 t) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} t + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

$\frac{1}{2}$ और $t$ को मिलाएं.

$\frac{t}{2} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

$\frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$\frac{1}{4}$ को $\frac{\sin (4 t)}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{4 \cdot 2} + C$

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C$

Step 17

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) + C$