कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = e^{\sin (x)}$

Step 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (\sin (x))$

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (\sin (x))$

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$f' (x) = e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x))$

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f' (x) = e^{\sin (x)} \cos (x)$

Step 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{\sin (x)}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

$f'' (x) = e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{\sin (x)} \cos (x)$

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) e^{\sin (x)}$

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) e^{\sin (x)}$

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1} e^{\sin (x)}$

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos^{2} (x) e^{\sin (x)}$

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f'' (x) = - e^{\sin (x)} \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Step 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- e^{\sin (x)} \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- e^{\sin (x)} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)]$ है.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- e^{\sin (x)} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$\frac{d}{d x} [- e^{\sin (x)} \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- e^{\sin (x)} \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)} \sin (x)]$ है.

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ $a^{u_{3}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (e^{\sin (x)} \cos (x))$

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{2} (x) (e^{\sin (x)} \cos (x))$

घातांक जोड़कर $\cos^{2} (x)$ को $\cos (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$\cos (x)$ ले जाएं.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos^{2} (x) e^{\sin (x)}$

$\cos (x)$ को $\cos^{2} (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos^{2} (x) e^{\sin (x)}$

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 2} e^{\sin (x)}$

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x)) - (\sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) - e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

$- e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ और $e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x))$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$e^{\sin (x)}$ और $- 2$ को पुन: क्रमित करें.

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) - e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) - 2 \cdot (e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

$- e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ में से $2 \cdot e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ घटाएं.

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$

$- e^{\sin (x)} \cos (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$ में से $\cos (x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- e^{\sin (x)} \cos (x)$ में से $\cos (x)$ का गुणनखंड करें.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)}) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$

$- 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ में से $\cos (x)$ का गुणनखंड करें.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)}) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x)) + e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$

$e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$ में से $\cos (x)$ का गुणनखंड करें.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)}) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$\cos (x) (- e^{\sin (x)}) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$ में से $\cos (x)$ का गुणनखंड करें.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} - 3 e^{\sin (x)} \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$\cos (x) (- e^{\sin (x)} - 3 e^{\sin (x)} \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$ में से $\cos (x)$ का गुणनखंड करें.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} - 3 e^{\sin (x)} \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ ले जाएं.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

$- e^{\sin (x)}$ में से $- e^{\sin (x)}$ का गुणनखंड करें.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} \cdot 1 + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

$e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ में से $- e^{\sin (x)}$ का गुणनखंड करें.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} \cdot 1 - e^{\sin (x)} (- 1 \cos^{2} (x)) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

$- e^{\sin (x)} (1) - e^{\sin (x)} (- 1 \cos^{2} (x))$ में से $- e^{\sin (x)}$ का गुणनखंड करें.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} (1 - 1 \cos^{2} (x)) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

$- 1 \cos^{2} (x)$ को $- \cos^{2} (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} (1 - \cos^{2} (x)) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} \sin^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} \sin^{2} (x)) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f''' (x) = - \cos (x) e^{\sin (x)} \sin^{2} (x) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f''' (x) = - \cos (x) e^{\sin (x)} \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) e^{\sin (x)} \sin (x)$

गुणनखंडों को $- \cos (x) e^{\sin (x)} \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) e^{\sin (x)} \sin (x)$ में पुन: क्रमित करें.

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$

Step 4

$f (x)$ का तीसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- e^{\sin (x)} \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ है.

$- e^{\sin (x)} \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$