कैलकुलस उदाहरण

$y = e^{4 x} \sin (x)$

Step 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{4 x}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

$f' (x) = e^{4 x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x})$

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x})$

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 4 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (4 x))$

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} (4 x))$

$u$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x))$

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x)))$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} \cdot 4)$

$4$ को $e^{4 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (4 \cdot e^{4 x})$

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + 4 e^{4 x} \sin (x)$

Step 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{4 x} \cos (x) + 4 e^{4 x} \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{4 x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{4 x} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{4 x}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

$f'' (x) = e^{4 x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

$4$ को $e^{4 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

$\frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 e^{4 x} \sin (x)$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x} \sin (x)]$ है.

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 \frac{d}{d x} (e^{4 x} \sin (x))$

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x}))$

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x}))$

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (4 x)))$

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (4 x)))$

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)))$

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))))$

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} (4 \cdot 1)))$

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} \cdot 4))$

$4$ को $e^{4 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (4 e^{4 x}))$

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x)) + 4 (\sin (x) (4 e^{4 x}))$

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 e^{4 x} \cos (x) + 16 (\sin (x) (e^{4 x}))$

$\cos (x) (4 e^{4 x})$ और $4 e^{4 x} \cos (x)$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$\cos (x)$ ले जाएं.

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + 4 e^{4 x} \cos (x) + 4 e^{4 x} \cos (x) + 16 \sin (x) e^{4 x}$

$4 e^{4 x} \cos (x)$ और $4 e^{4 x} \cos (x)$ जोड़ें.

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + 8 e^{4 x} \cos (x) + 16 \sin (x) e^{4 x}$

$\sin (x)$ ले जाएं.

$f'' (x) = - 1 \cdot (e^{4 x} \sin (x)) + 16 e^{4 x} \sin (x) + 8 e^{4 x} \cos (x)$

$- 1 e^{4 x}$ को $- e^{4 x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = - e^{4 x} \sin (x) + 16 e^{4 x} \sin (x) + 8 e^{4 x} \cos (x)$

$- e^{4 x} \sin (x)$ और $16 e^{4 x} \sin (x)$ जोड़ें.

$f'' (x) = 15 e^{4 x} \sin (x) + 8 e^{4 x} \cos (x)$