कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} x \ln (x)$

Step 1

दो ओर की सीमा को दाईं ओर की सीमा में प्रतिस्थापित करें.

$lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)$

Step 2

$x \ln (x)$ को $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$

Step 3

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

जैसे-जैसे $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर एप्रोच करता है, $\ln (x)$ बिना किसी सीमा के कम हो जाता है.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

चूँकि न्यूमेरेटर एक स्थिरांक है और भाजक $0$ की ओर एप्रोच करता है, जब $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर एप्रोच करता है, तो भिन्न $\frac{1}{x}$ अनंत की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{- \infty}{\infty}$

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{- \infty}{\infty}$

चूंकि $\frac{- \infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}$

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- x^{2})$

$\frac{1}{x}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}$

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}$

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}$

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{x \to 0^{+}} - x$

Step 4

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$- lim_{x \to 0^{+}} x$

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$0$