कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$

Step 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{3}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चूंकि $- 9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 9 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

$2$ को $- 9$ से गुणा करें.

$6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

$\frac{d}{d x} [12 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चूंकि $12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $12 x$ का व्युत्पन्न $12 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$6 x^{2} - 18 x + 12 + \frac{d}{d x} [1]$

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$6 x^{2} - 18 x + 12 + 0$

$6 x^{2} - 18 x + 12$ और $0$ जोड़ें.

$6 x^{2} - 18 x + 12$

Step 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $6 x^{2} - 18 x + 12$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x^{2}$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

$\frac{d}{d x} [- 18 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चूंकि $- 18$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 18 x$ का व्युत्पन्न $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 12 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

$f'' (x) = 12 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

$- 18$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 12 x - 18 + \frac{d}{d x} (12)$

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चूंकि $x$ के संबंध में $12$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $12$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 12 x - 18 + 0$

$12 x - 18$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 12 x - 18$

Step 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$

Step 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{3}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

$2$ को $- 9$ से गुणा करें.

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

$\frac{d}{d x} [12 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चूंकि $12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $12 x$ का व्युत्पन्न $12 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 + \frac{d}{d x} (1)$

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 + 0$

$6 x^{2} - 18 x + 12$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12$

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $6 x^{2} - 18 x + 12$ है.

$6 x^{2} - 18 x + 12$

Step 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$6 x^{2} - 18 x + 12$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$6 x^{2}$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (x^{2}) - 18 x + 12 = 0$

$- 18 x$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (x^{2}) + 6 (- 3 x) + 12 = 0$

$12$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 x^{2} + 6 (- 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

$6 x^{2} + 6 (- 3 x)$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

$6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 3 x + 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $2$ है और जिसका योग $- 3$ है.

$- 2, - 1$

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$6 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$6 (x - 2) (x - 1) = 0$

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $6 (x - 2) (x - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 2, 1$

Step 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

Step 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = 2, 1$

Step 8

$x = 2$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$12 (2) - 18$

Step 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$12$ को $2$ से गुणा करें.

$24 - 18$

$24$ में से $18$ घटाएं.

$6$

Step 10

$x = 2$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 2$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

Step 11

$x = 2$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

घातांक जोड़कर $2$ को ${(2)}^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2$ को ${(2)}^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (2) = 2^{1 + 3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

$1$ और $3$ जोड़ें.

$f (2) = 2^{4} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (2) = 16 - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (2) = 16 - 9 \cdot 4 + 12 (2) + 1$

$- 9$ को $4$ से गुणा करें.

$f (2) = 16 - 36 + 12 (2) + 1$

$12$ को $2$ से गुणा करें.

$f (2) = 16 - 36 + 24 + 1$

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$16$ में से $36$ घटाएं.

$f (2) = - 20 + 24 + 1$

$- 20$ और $24$ जोड़ें.

$f (2) = 4 + 1$

$4$ और $1$ जोड़ें.

$f (2) = 5$

अंतिम उत्तर $5$ है.

$y = 5$

Step 12

$x = 1$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$12 (1) - 18$

Step 13

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$12 - 18$

$12$ में से $18$ घटाएं.

$- 6$

Step 14

$x = 1$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 1$ एक स्थानीय अधिकतम है.

Step 15

$x = 1$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = 2 {(1)}^{3} - 9 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f (1) = 2 \cdot 1 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = 2 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f (1) = 2 - 9 \cdot 1 + 12 (1) + 1$

$- 9$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = 2 - 9 + 12 (1) + 1$

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = 2 - 9 + 12 + 1$

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2$ में से $9$ घटाएं.

$f (1) = - 7 + 12 + 1$

$- 7$ और $12$ जोड़ें.

$f (1) = 5 + 1$

$5$ और $1$ जोड़ें.

$f (1) = 6$

अंतिम उत्तर $6$ है.

$y = 6$

Step 16

ये $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(2, 5)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

$(1, 6)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

Step 17