कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 4 x^{3} + x^{2} + 4 x$

Step 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{3} + x^{2} + 4 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{3}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (4 x)$

$\frac{d}{d x} [4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4 \frac{d}{d x} (x)$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4 \cdot 1$

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4$

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $12 x^{2} + 2 x + 4$ है.

$12 x^{2} + 2 x + 4$

Step 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $12 x^{2} + 2 x + 4 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$12 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

$12 x^{2} + 2 x + 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$12 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (6 x^{2}) + 2 x + 4 = 0$

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (6 x^{2}) + 2 (x) + 4 = 0$

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (6 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 2 = 0$

$2 (6 x^{2}) + 2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (6 x^{2} + x) + 2 \cdot 2 = 0$

$2 (6 x^{2} + x) + 2 \cdot 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$

$2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 (6 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (6 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

$6 x^{2} + x + 2$ को $1$ से विभाजित करें.

$6 x^{2} + x + 2 = \frac{0}{2}$

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$6 x^{2} + x + 2 = 0$

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

द्विघात सूत्र में $a = 6$ , $b = 1$ और $c = 2$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (6 \cdot 2)}}{2 \cdot 6}$

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

एक का कोई भी घात एक होता है.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

$- 4 \cdot 6 \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 4$ को $6$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

$- 24$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

$1$ में से $48$ घटाएं.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

$- 47$ को $- 1 (47)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

$\sqrt{- 1 (47)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

एक का कोई भी घात एक होता है.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

$- 4 \cdot 6 \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 4$ को $6$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

$- 24$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

$1$ में से $48$ घटाएं.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

$- 47$ को $- 1 (47)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

$\sqrt{- 1 (47)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{47}}{12}$

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{47}}{12}$

$i \sqrt{47}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{47})}{12}$

$- 1 (1) - (- i \sqrt{47})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{47})}{12}$

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{12}$

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

एक का कोई भी घात एक होता है.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

$- 4 \cdot 6 \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 4$ को $6$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

$- 24$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

$1$ में से $48$ घटाएं.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

$- 47$ को $- 1 (47)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

$\sqrt{- 1 (47)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{47}}{12}$

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{47}}{12}$

$- i \sqrt{47}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{47})}{12}$

$- 1 (1) - (i \sqrt{47})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{47})}{12}$

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{47}}{12}$

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{12}, - \frac{1 + i \sqrt{47}}{12}$

Step 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

Step 4

मूल समस्या के डोमेन में $x$ का कोई मान नहीं है जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

कोई क्रांतिक बिंदु नहीं मिला