कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (2 x))}{x}$

Step 1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{0}$

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (2 x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x]}$

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1}$

$2 \cos (2 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)$

Step 2

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)$

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)$

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)$

Step 3

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$2 \cos (2 \cdot 0)$

Step 4

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$2 \cos (0)$

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$2 \cdot 1$

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$