कैलकुलस उदाहरण

$\int \sec^{4} (2 x) d x$

Step 1

मान लीजिए $u_{1} = 2 x$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

मान लें $u_{1} = 2 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 2

$\sec^{4} (u_{1})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sec^{4} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Step 4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$4$ को $2$ जोड़ $2$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{1}{2} \int {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ को $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 5

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\sec^{2} (u_{1})$ को $1 + \tan^{2} (u_{1})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int (1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 6

मान लीजिए $u_{2} = \tan (u_{1})$ .फिर $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , तो $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

मान लें $u_{2} = \tan (u_{1})$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$\tan (u_{1})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

$u_{1}$ के संबंध में $\tan (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u_{1})$ है.

$\sec^{2} (u_{1})$

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Step 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 9

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ है.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Step 10

सरल करें.

$\frac{1}{2} (u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Step 11

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\tan (u_{1})$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\tan (u_{1}) + \frac{1}{3} \tan^{3} (u_{1})) + C$

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\tan (2 x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (2 x)) + C$

Step 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$\frac{1}{3}$ और $\tan^{3} (2 x)$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\tan (2 x) + \frac{\tan^{3} (2 x)}{3}) + C$

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} \tan (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{3} (2 x)}{3} + C$

$\frac{1}{2}$ और $\tan (2 x)$ को मिलाएं.

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{3} (2 x)}{3} + C$

जोड़ना.

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{1 \tan^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$\tan^{3} (2 x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{\tan^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{\tan^{3} (2 x)}{6} + C$

Step 13

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} \tan (2 x) + \frac{1}{6} \tan^{3} (2 x) + C$