कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$

Step 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चूंकि $\frac{1}{5}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x^{5} - 5 x}{5}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$ है.

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{5} - 5 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ है.

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$\frac{1}{5} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

चूंकि $- 5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5 x$ का व्युत्पन्न $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x])$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

$- 5$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5)$

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$5$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

$\frac{5}{5}$ और $x^{4}$ को मिलाएं.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

$x^{4}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

$\frac{1}{5}$ और $- 5$ को मिलाएं.

$x^{4} + \frac{- 5}{5}$

$- 5$ और $5$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 5$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$5$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{4} + \frac{- 1}{1}$

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{4} - 1$

Step 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f'' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 1)$

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 4 x^{3} + 0$

$4 x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 4 x^{3}$

Step 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$x^{4} - 1 = 0$

Step 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{5} - 5 x)$

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{5} - 5 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ है.

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

चूंकि $- 5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5 x$ का व्युत्पन्न $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x)$

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

$- 5$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5)$

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$5$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

$\frac{5}{5}$ और $x^{4}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

$x^{4}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (x) = x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

$\frac{1}{5}$ और $- 5$ को मिलाएं.

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 5}{5}$

$- 5$ और $5$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 5$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$5$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 1}{1}$

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (x) = x^{4} - 1$

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $x^{4} - 1$ है.

$x^{4} - 1$

Step 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $x^{4} - 1 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{4} - 1 = 0$

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x^{4} = 1$

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का चौथा मूल लें.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$x = \pm 1$

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 1$

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 1$

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 1, - 1$

Step 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

Step 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = 1, - 1$

Step 8

$x = 1$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$4 {(1)}^{3}$

Step 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

एक का कोई भी घात एक होता है.

$4 \cdot 1$

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4$

Step 10

$x = 1$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 1$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

Step 11

$x = 1$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = \frac{{(1)}^{5} - 5 \cdot 1}{5}$

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f (1) = \frac{1 - 5 \cdot 1}{5}$

$- 5$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = \frac{1 - 5}{5}$

$1$ में से $5$ घटाएं.

$f (1) = \frac{- 4}{5}$

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (1) = - \frac{4}{5}$

अंतिम उत्तर $- \frac{4}{5}$ है.

$y = - \frac{4}{5}$

Step 12

$x = - 1$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$4 {(- 1)}^{3}$

Step 13

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \cdot - 1$

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 4$

Step 14

$x = - 1$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = - 1$ एक स्थानीय अधिकतम है.

Step 15

$x = - 1$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{5} - 5 \cdot - 1}{5}$

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 1$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 1) = \frac{- 1 - 5 \cdot - 1}{5}$

$- 5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 5}{5}$

$- 1$ और $5$ जोड़ें.

$f (- 1) = \frac{4}{5}$

अंतिम उत्तर $\frac{4}{5}$ है.

$y = \frac{4}{5}$

Step 16

ये $f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(1, - \frac{4}{5})$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

$(- 1, \frac{4}{5})$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

Step 17