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कैलकुलस उदाहरण
Step 1
अवकलन करें.
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
का मान ज्ञात करें.
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
को से गुणा करें.
स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.
चूंकि के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
और जोड़ें.
Step 2
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
का मान ज्ञात करें.
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
को से गुणा करें.
का मान ज्ञात करें.
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
को से गुणा करें.
Step 3
फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को के बराबर सेट करें और हल करें.
Step 4
पहला व्युत्पन्न पता करें.
अवकलन करें.
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
का मान ज्ञात करें.
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
को से गुणा करें.
स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.
चूंकि के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
और जोड़ें.
का पहला व्युत्पन्न बटे , है.
Step 5
पहले व्युत्पन्न को के बराबर सेट करें.
समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.
में से का गुणनखंड करें.
में से का गुणनखंड करें.
में से का गुणनखंड करें.
में से का गुणनखंड करें.
को के रूप में फिर से लिखें.
गुणनखंड करें.
चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां और .
अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.
यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक के बराबर होगा.
को के बराबर सेट करें.
को के बराबर सेट करें और के लिए हल करें.
को के बराबर सेट करें.
समीकरण के दोनों पक्षों से घटाएं.
को के बराबर सेट करें और के लिए हल करें.
को के बराबर सेट करें.
समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ें.
अंतिम हल वो सभी मान हैं जो को सिद्ध करते हैं.
Step 6
व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.
Step 7
मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.
Step 8
पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.
Step 9
प्रत्येक पद को सरल करें.
को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से प्राप्त होता है.
को से गुणा करें.
में से घटाएं.
Step 10
एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.
एक स्थानीय अधिकतम है.
Step 11
व्यंजक में चर को से बदलें.
परिणाम को सरल बनाएंं.
प्रत्येक पद को सरल करें.
को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से प्राप्त होता है.
को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से प्राप्त होता है.
को से गुणा करें.
संख्याओं को जोड़कर सरल करें.
और जोड़ें.
और जोड़ें.
अंतिम उत्तर है.
Step 12
पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.
Step 13
प्रत्येक पद को सरल करें.
को के घात तक बढ़ाएं.
को से गुणा करें.
में से घटाएं.
Step 14
एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
Step 15
व्यंजक में चर को से बदलें.
परिणाम को सरल बनाएंं.
प्रत्येक पद को सरल करें.
को के घात तक बढ़ाएं.
को के घात तक बढ़ाएं.
को से गुणा करें.
जोड़कर और घटाकर सरल करें.
में से घटाएं.
और जोड़ें.
अंतिम उत्तर है.
Step 16
पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.
Step 17
प्रत्येक पद को सरल करें.
को के घात तक बढ़ाएं.
को से गुणा करें.
में से घटाएं.
Step 18
एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
Step 19
व्यंजक में चर को से बदलें.
परिणाम को सरल बनाएंं.
प्रत्येक पद को सरल करें.
को के घात तक बढ़ाएं.
को के घात तक बढ़ाएं.
को से गुणा करें.
जोड़कर और घटाकर सरल करें.
में से घटाएं.
और जोड़ें.
अंतिम उत्तर है.
Step 20
ये के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.
एक स्थानीय उच्चत्तम है
एक स्थानीय निम्नत्तम है
एक स्थानीय निम्नत्तम है
Step 21